与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、不定解の場合には $z=c$ とおいたときの解を求める問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $3x + 7y + 5z = 0$ $x + y - z = 0$ $x + 3y + 3z = 0$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、不定解の場合には $z=c$ とおいたときの解を求める問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$3x + 7y + 5z = 0$

$x + y - z = 0$

$x + 3y + 3z = 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列で表します。

$\begin{pmatrix} 3 & 7 & 5 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

次に、拡大係数行列を作成し、簡約化します。

$\begin{pmatrix} 3 & 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引きます。

3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 8 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$

2行目を4で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列から、以下の式を得ます。

$x - 3z = 0$

$y + 2z = 0$

$z = c$ とおくと、

$x = 3c$

$y = -2c$

したがって、解は以下のようになります。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

よって、ア=3, イ=-2, ウ=1