与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} 2x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 2 \\ -x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 2 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 1 \\ -2x_1 - x_2 + x_4 = 1 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

2x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 2 \\

-x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 2 \\

x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 1 \\

-2x_1 - x_2 + x_4 = 1

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を行列で表現します。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 2 & 4 & 2 & 2 \\

-1 & 1 & 3 & 2 & 2 \\

1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\

-2 & -1 & 0 & 1 & 1

\end{pmatrix}

$$

次に、掃き出し法を用いて行列を簡約化します。

(1) 1行目と2行目を入れ替えます。

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 1 & 3 & 2 & 2 \\

0 & 2 & 4 & 2 & 2 \\

1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\

-2 & -1 & 0 & 1 & 1

\end{pmatrix}

$$

(2) 1行目を-1倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & -2 \\

0 & 2 & 4 & 2 & 2 \\

1 & 2 & 3 & 1 & 1 \\

-2 & -1 & 0 & 1 & 1

\end{pmatrix}

$$

(3) 3行目から1行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & -2 \\

0 & 2 & 4 & 2 & 2 \\

0 & 3 & 6 & 3 & 3 \\

-2 & -1 & 0 & 1 & 1

\end{pmatrix}

$$

(4) 4行目に1行目の2倍を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & -2 \\

0 & 2 & 4 & 2 & 2 \\

0 & 3 & 6 & 3 & 3 \\

0 & -3 & -6 & -3 & -3

\end{pmatrix}

$$

(5) 2行目を1/2倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & -2 \\

0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\

0 & 3 & 6 & 3 & 3 \\

0 & -3 & -6 & -3 & -3

\end{pmatrix}

$$

(6) 3行目から2行目の3倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & -2 \\

0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -3 & -6 & -3 & -3

\end{pmatrix}

$$

(7) 4行目に2行目の3倍を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & -2 \\

0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

(8) 1行目に2行目を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\

0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

よって、簡約化された連立一次方程式は

$$

\begin{cases}

x_1 - x_3 - x_4 = -1 \\

x_2 + 2x_3 + x_4 = 1

\end{cases}

$$

となります。

$x_3 = s, x_4 = t$ とおくと、

$x_1 = s + t - 1$

$x_2 = -2s - t + 1$

となります。

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

x_1 = s + t - 1 \\

x_2 = -2s - t + 1 \\

x_3 = s \\

x_4 = t

\end{cases}

$$

ここで、$s$と$t$は任意の実数です。