$x - \frac{1}{x} = 3$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 - \frac{1}{x^3}$ (3) $x + \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

$x - \frac{1}{x} = 3$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 - \frac{1}{x^3}$

(3) $x + \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ について

$x - \frac{1}{x} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(x - \frac{1}{x})^2 = 3^2$

$x^2 - 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 11$

(2) $x^3 - \frac{1}{x^3}$ について

$x - \frac{1}{x} = 3$ を利用して、$x^3 - \frac{1}{x^3}$ を計算する。

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})(x^2 + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})$

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2})$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 11$ を代入すると、

$x^3 - \frac{1}{x^3} = 3(11 + 1)$

$x^3 - \frac{1}{x^3} = 3 \cdot 12$

$x^3 - \frac{1}{x^3} = 36$

(3) $x + \frac{1}{x}$ について

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 11$ を代入すると、

$(x + \frac{1}{x})^2 = 11 + 2$

$(x + \frac{1}{x})^2 = 13$

$x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{13}$

$x - \frac{1}{x} = 3$ より、$x > 0$ であることを考えると、$x + \frac{1}{x} > 0$ なので、$x + \frac{1}{x} = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1) 11

(2) 36

(3) $\sqrt{13}$