与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 3n$ と初期条件 $a_1 = 3$ から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 3n$ と初期条件 $a_1 = 3$ から数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1} = 3a_n + 3n$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{3a_n}{3^{n+1}} + \frac{3n}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \frac{n}{3^n}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、漸化式は次のようになります。

$b_{n+1} = b_n + \frac{n}{3^n}$

この漸化式より、

$b_{n+1} - b_n = \frac{n}{3^n}$

$n \ge 1$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{3^k}$

ここで、$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{3}{3} = 1$ より

$b_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{3^k}$

$S = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{3^k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}}$

とおくと、

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \dots + \frac{n-2}{3^{n-1}} + \frac{n-1}{3^n}$

$S - \frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n-1}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{1 - \frac{1}{3}} - \frac{n-1}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{\frac{2}{3}} - \frac{n-1}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^{n-1}}) - \frac{n-1}{3^n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot3^{n-1}} - \frac{n-1}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{1}{2} - \frac{3}{2\cdot3^n} - \frac{2(n-1)}{2\cdot3^n} = \frac{1}{2} - \frac{2n+1}{2\cdot3^n}$

$S = \frac{3}{2}(\frac{1}{2} - \frac{2n+1}{2\cdot3^n}) = \frac{3}{4} - \frac{2n+1}{4\cdot3^{n-1}}$

$b_n = 1 + \frac{3}{4} - \frac{2n+1}{4\cdot3^{n-1}} = \frac{7}{4} - \frac{2n+1}{4\cdot3^{n-1}}$

したがって、$a_n = 3^n b_n = 3^n (\frac{7}{4} - \frac{2n+1}{4\cdot3^{n-1}}) = \frac{7}{4}3^n - \frac{3(2n+1)}{4}$

$a_n = \frac{7 \cdot 3^n - 6n - 3}{4}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{7 \cdot 3^n - 6n - 3}{4}$