初項 $a_1 = 1$、漸化式 $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、$a_n = 3(\frac{1}{2})^{n-1} - 2$という回答が与えられています。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 1$、漸化式 $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、$a_n = 3(\frac{1}{2})^{n-1} - 2$という回答が与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を解き、一般項 $a_n$ を求めます。

まず、漸化式を書き換えます。

$2a_{n+1} = a_n - 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 1$

次に、特性方程式を解きます。

$x = \frac{1}{2}x - 1$

$\frac{1}{2}x = -1$

$x = -2$

数列 $b_n = a_n - (-2) = a_n + 2$ を考えると、

$b_{n+1} = a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2}a_n - 1 + 2 = \frac{1}{2}a_n + 1 = \frac{1}{2}(a_n + 2) = \frac{1}{2}b_n$

数列 $\{b_n\}$ は、初項 $b_1 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列です。

したがって、$b_n = 3(\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = b_n - 2$ より、

$a_n = 3(\frac{1}{2})^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 3(\frac{1}{2})^{n-1} - 2$