与えられた数学の問題は、集合、場合の数、順列、組み合わせなどに関する9つの小問から構成されています。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、集合、場合の数、順列、組み合わせなどに関する9つの小問から構成されています。

2. 解き方の手順

(1) 集合

* n(A) は集合Aの要素の個数なので、$n(A) = 4$。

* n(B) は集合Bの要素の個数なので、$n(B) = 2$。

* n(A∪B) は集合Aと集合Bの和集合の要素の個数なので、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$。したがって、$n(A \cup B) = 5$。

(2) 倍数

* 100以下の3の倍数は、$\lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$個。

* 3の倍数かつ5の倍数、つまり15の倍数は、$\lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6$個。

* 3の倍数または5の倍数は、$33 + \lfloor \frac{100}{5} \rfloor - 6 = 33 + 20 - 6 = 47$個。

(3) さいころ

* 1つのさいころを2回投げて、目の和が4の倍数になるのは、和が4, 8, 12となる場合。

* 和が4になるのは、(1, 3), (2, 2), (3, 1) の3通り。

* 和が8になるのは、(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) の5通り。

* 和が12になるのは、(6, 6) の1通り。

* 合計で $3 + 5 + 1 = 9$通り。

(4) さいころ

* 大小中3個のさいころを投げて、すべての目が4以上である場合。

* 各さいころの目は4, 5, 6のいずれかなので、各さいころについて3通りの選択肢がある。

* したがって、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り。

(5) 値の計算

* $_4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12$。

* $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$。

* $_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$。

(6) 玉の並べ方

* 異なる4個を取り出し1列に並べる方法は、$_6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

* 6個すべてを円形に並べる方法は、$(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り。

(7) 正七角形

* 3個の頂点を結んでできる三角形の個数は、$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$個。

* 対角線の本数は、$_7C_2 - 7 = \frac{7 \times 6}{2} - 7 = 21 - 7 = 14$本。

(8) 整数の作成

* 3種類の数字1, 2, 3の中から、重複を許して4桁の整数を作る方法は、$3^4 = 81$個。

(9) 部屋への振り分け

* 8人の生徒をA, Bの2つの部屋に入れる方法で、空室ができないようにする方法。

* 各生徒がA, Bどちらかの部屋に入る方法は $2^8 = 256$ 通り。

* ただし、全員がAに入る場合と全員がBに入る場合を除く。

* したがって、$2^8 - 2 = 256 - 2 = 254$通り。

* また、考え方として、Aに入る人数が1人から7人の場合を考えると

$_8C_1 + _8C_2 + ... + _8C_7 = 2^8 - _8C_0 - _8C_8 = 256 - 1 - 1 = 254$

3. 最終的な答え

(1) 集合

* n(A) = 4

* n(B) = 2

* n(A∪B) = 5

(2) 倍数

* 3の倍数：33個

* 3の倍数かつ5の倍数：6個

* 3の倍数または5の倍数：47個

(3) さいころ：9通り

(4) さいころ：27通り

(5) 値の計算

* $_4P_2 = 12$

* $4! = 24$

* $_6C_3 = 20$

(6) 玉の並べ方

* 異なる4個を取り出し1列に並べる：360通り

* 6個すべてを円形に並べる：120通り

(7) 正七角形

* 三角形の個数：35個

* 対角線の本数：14本

(8) 整数の作成：81個

(9) 部屋への振り分け：254通り