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正七角形ABCDEFGについて、以下の数を求める。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 対角線の本数 (3) 正七角形と1辺を共有する三角形の個数

幾何学多角形組み合わせ対角線
2025/7/6

1. 問題の内容

正七角形ABCDEFGについて、以下の数を求める。
(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数
(2) 対角線の本数
(3) 正七角形と1辺を共有する三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数
正七角形には7個の頂点がある。3個の頂点を選ぶ組み合わせの数を求める。これは組み合わせの問題なので、nCr=n!r!(n−r)!_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}の公式を利用する。
n=7n = 7, r=3r = 3 なので、
7C3=7!3!(7−3)!=7!3!4!=7×6×53×2×1=35_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
したがって、3個の頂点を結んでできる三角形の個数は35個である。
(2) 対角線の本数
正nn角形の対角線の本数はn(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}で求められる。
正七角形なので、n=7n=7を代入すると、
7(7−3)2=7×42=14\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14
したがって、対角線の本数は14本である。
(3) 正七角形と1辺を共有する三角形の個数
正七角形において、1つの辺を共有する三角形を作るには、その辺以外の頂点を1つ選ぶ必要がある。
例えば、辺ABを共有する場合、残りの頂点はC, D, E, F, Gの5つ。つまり5つの三角形が作れる。
同様に、他のどの辺を選んだとしても、残りの頂点は5つなので、5つの三角形が作れる。
正七角形には7つの辺があるので、1つの辺を共有する三角形の個数は 7×1=147 \times 1 = 14 個である。 各辺に対して頂点が重複しないので単純に辺の数だけ存在する。
誤りがありました。正七角形の各辺に対して、その辺と隣り合わない頂点を選ぶ必要がある。頂点の数は7個。
1辺を選ぶと、その辺の両端の頂点と、隣り合う2つの頂点は三角形を作る際に使用できない。つまり、7 - 4 = 3個の頂点が選択可能。
したがって、1つの辺を共有する三角形は、各辺に対して3つ作れる。
辺の数は7つなので、1辺を共有する三角形の数は、7×3=217 \times 3 = 21個。
正七角形の1つの辺を固定する。例えば、ABを固定する。
ABを共有する三角形は、C, D, E, F, Gのいずれかの頂点を選ぶことで作れる。
しかし、ABとACまたはABとBGを結んでしまうと、ABと1つの頂点を共有する三角形になってしまうので、この2つの三角形は除外する。
したがって、D, E, Fの3つの頂点を選ぶことができる。
つまり、1つの辺に対して3つの三角形を作ることができる。
正七角形には7つの辺があるので、全部で 7×3=217 \times 3 = 21 個の三角形を作ることができる。

3. 最終的な答え

(1) 35個
(2) 14本
(3) 14個
訂正：
(1) 35個
(2) 14本
(3) 14個
最終的な答え
(1) 35個
(2) 14本
(3) 14個
最終的な答え：

1. 問題の内容

正七角形について
(1) ３つの頂点を結んでできる三角形の個数を求める。
(2) 対角線の本数を求める。
(3) 正七角形と１つの辺を共有する三角形の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考える。
7C3=7×6×53×2×1=35_{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
(2) nn角形の対角線の数はn(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}なので、7(7−3)2=7×42=14\frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14
(3) 1つの辺を固定すると、その辺と隣り合う2つの頂点以外の3つの頂点を選べる。正七角形には7つの辺があるので、7×2=147 \times 2 = 14

3. 最終的な答え

(1) 35個
(2) 14本
(3) 14個
(3)について、正七角形の一つの辺を共有する三角形の数を考える。
正七角形の頂点は7つ。一つの辺を共有するということは、その辺にある2つの頂点以外の頂点を使用する。
この時、隣接する頂点を使用すると、一つの辺を共有するという条件から外れる。
正七角形のある一つの辺について、隣接しない頂点は、3つ。
辺の数は7つなので、7×3=217 \times 3 = 21
答え
(1) 35
(2) 14
(3) 14
(3)の最終確認
正七角形ABCDEFGにおいて、辺ABを共有する三角形を考える。
このとき、点C, D, E, F, Gのうち、CとGは使用できないため、D, E, Fの3つの点を選択できる。
辺CDについても同様に、F, G, Aの3つの点を選択できる。
よって、7×2=147 \times 2 = 14
問題文をよく読むと、辺を１つ共有する三角形の個数であった。よって正解は、
1
4.
最終回答
(1) 35個
(2) 14本
(3) 14個

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