三角錐OABCがあり、$OA=OB=1$, $OC=3$, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 90^\circ$である。 この三角錐OABCの体積、$\cos \angle ACB$, 三角形ABCの面積、頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の長さ、この三角錐に内接する球の半径を求める問題。

1. 問題の内容

三角錐OABCがあり、$OA=OB=1$, $OC=3$, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 90^\circ$である。

この三角錐OABCの体積、$\cos \angle ACB$, 三角形ABCの面積、頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の長さ、この三角錐に内接する球の半径を求める問題。

2. 解き方の手順

(ア) 三角錐OABCの体積

$V = \frac{1}{6}OA \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{6} \times 1 \times 1 \times 3 = \frac{1}{2}$

(イ) $\cos \angle ACB$

$\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCA$は直角三角形なので、

$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$

$CA = \sqrt{OC^2 + OA^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

$\triangle ABC$において余弦定理より、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2BC \cdot CA \cos \angle ACB$

$2 = 10 + 10 - 2 \times \sqrt{10} \times \sqrt{10} \cos \angle ACB$

$2 = 20 - 20 \cos \angle ACB$

$20 \cos \angle ACB = 18$

$\cos \angle ACB = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$

(ウ) 三角形ABCの面積

$\sin^2 \angle ACB + \cos^2 \angle ACB = 1$より、

$\sin^2 \angle ACB = 1 - \cos^2 \angle ACB = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^2 = 1 - \frac{81}{100} = \frac{19}{100}$

$\sin \angle ACB = \sqrt{\frac{19}{100}} = \frac{\sqrt{19}}{10}$ ($\sin \angle ACB > 0$)

$S = \frac{1}{2} BC \cdot CA \cdot \sin \angle ACB = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \sqrt{10} \times \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{\sqrt{19}}{2}$

(エ) 頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の長さ

三角形OABCの体積は$\frac{1}{2}$である。

$V = \frac{1}{3} S h$ (Sは三角形ABCの面積, hは頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の長さ)

$\frac{1}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{19}}{2} \times h$

$h = \frac{3}{\sqrt{19}} = \frac{3\sqrt{19}}{19}$

(オ) 三角錐に内接する球の半径

内接球の半径を$r$とする。

三角錐OABCの体積は、4つの三角錐OABr, OBCr, OACr, ABCrの体積の和に等しい。

$V = \frac{1}{3} (\triangle OAB + \triangle OBC + \triangle OAC + \triangle ABC) r$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \times 1 \times 1 + \frac{1}{2} \times 1 \times 3 + \frac{1}{2} \times 3 \times 1 + \frac{\sqrt{19}}{2}) r$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{19}}{2}) r$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{6} (1+3+3+\sqrt{19}) r$

$3 = (7+\sqrt{19}) r$

$r = \frac{3}{7+\sqrt{19}} = \frac{3(7-\sqrt{19})}{49-19} = \frac{3(7-\sqrt{19})}{30} = \frac{7-\sqrt{19}}{10}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{2}$

イ: $\frac{9}{10}$

ウ: $\frac{\sqrt{19}}{2}$

エ: $\frac{3\sqrt{19}}{19}$

オ: $\frac{7-\sqrt{19}}{10}$