異なる色の9個の玉を、指定された個数になるようにいくつかの組に分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の3つの場合に分けて考えます。 (1) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。 (2) 3個ずつの3つの組に分ける。 (3) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、指定された個数になるようにいくつかの組に分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の3つの場合に分けて考えます。

(1) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。

(2) 3個ずつの3つの組に分ける。

(3) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける場合

まず、9個の玉からAに入れる3個を選ぶ場合の数は ${}_9C_3$ 通り。

次に、残りの6個の玉からBに入れる3個を選ぶ場合の数は ${}_6C_3$ 通り。

最後に、残りの3個の玉は自動的にCに入るので、その場合の数は ${}_3C_3 = 1$ 通り。

したがって、この場合の分け方は ${}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3$ 通り。

${}_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${}_3C_3 = 1$

${}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$

(2) 3個ずつの3つの組に分ける場合

まず、9個の玉から3個を選ぶ場合の数は ${}_9C_3$ 通り。

次に、残りの6個の玉から3個を選ぶ場合の数は ${}_6C_3$ 通り。

最後に、残りの3個の玉は自動的に最後の組に入るので、その場合の数は ${}_3C_3 = 1$ 通り。

しかし、この場合は組に区別がないので、3つの組の並び順（3! = 6）で割る必要があります。

したがって、この場合の分け方は $\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!}$ 通り。

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = \frac{1680}{6} = 280$

(3) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける場合

まず、9個の玉から3個を選ぶ場合の数は ${}_9C_3$ 通り。

次に、残りの6個の玉から2個を選ぶ場合の数は ${}_6C_2$ 通り。

次に、残りの4個の玉から2個を選ぶ場合の数は ${}_4C_2$ 通り。

最後に、残りの2個の玉から2個を選ぶ場合の数は ${}_2C_2 = 1$ 通り。

しかし、この場合は2個の組が3つあるので、その並び順（3! = 6）で割る必要があります。

したがって、この場合の分け方は $\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{3!}$ 通り。

${}_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

${}_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${}_2C_2 = 1$

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{3!} = \frac{84 \times 15 \times 6 \times 1}{6} = 84 \times 15 = 1260$

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り

(3) 1260通り