座標平面上に3点 $A(6, 6)$, $B(0, 6)$, $C(0, -2)$ を通る円 $K$ がある。原点を $O$ とする。 (1) 円 $K$ の中心の座標と半径を求める。 (2) 点 $P$ は円 $K$ の $y < x$ の部分を動く。$\triangle OAP$ の面積が6であるとき、点 $P$ の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 $A(6, 6)$, $B(0, 6)$, $C(0, -2)$ を通る円 $K$ がある。原点を $O$ とする。

(1) 円 $K$ の中心の座標と半径を求める。

(2) 点 $P$ は円 $K$ の $y < x$ の部分を動く。$\triangle OAP$ の面積が6であるとき、点 $P$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $K$ の方程式を $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ とする。

3点 $A, B, C$ を通るので、

$(6 - a)^2 + (6 - b)^2 = r^2$ (1)

$(0 - a)^2 + (6 - b)^2 = r^2$ (2)

$(0 - a)^2 + (-2 - b)^2 = r^2$ (3)

(1) - (2) より、

$(6 - a)^2 - a^2 = 0$

$36 - 12a + a^2 - a^2 = 0$

$12a = 36$

$a = 3$

(2) より、

$a^2 + (6 - b)^2 = r^2$

$3^2 + (6 - b)^2 = r^2$

$9 + 36 - 12b + b^2 = r^2$

$45 - 12b + b^2 = r^2$ (4)

(3) より、

$a^2 + (-2 - b)^2 = r^2$

$3^2 + (4 + 4b + b^2) = r^2$

$9 + 4 + 4b + b^2 = r^2$

$13 + 4b + b^2 = r^2$ (5)

(4) - (5) より、

$45 - 12b + b^2 - (13 + 4b + b^2) = 0$

$32 - 16b = 0$

$16b = 32$

$b = 2$

(5) に代入して、

$13 + 4(2) + 2^2 = r^2$

$13 + 8 + 4 = r^2$

$r^2 = 25$

$r = 5$

よって、円の中心は $(3, 2)$ で、半径は $5$。

(2) 点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。$\triangle OAP$ の面積は6であるから、

$\frac{1}{2} |6y - 6x| = 6$

$|y - x| = 2$

$y - x = 2$ または $y - x = -2$

$y = x + 2$ または $y = x - 2$

$y < x$ より、$y = x - 2$

円 $K$ の方程式は、 $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$

$y = x - 2$ を代入して、

$(x - 3)^2 + (x - 2 - 2)^2 = 25$

$(x - 3)^2 + (x - 4)^2 = 25$

$x^2 - 6x + 9 + x^2 - 8x + 16 = 25$

$2x^2 - 14x = 0$

$2x(x - 7) = 0$

$x = 0$ または $x = 7$

$x = 0$ のとき、$y = 0 - 2 = -2$

$x = 7$ のとき、$y = 7 - 2 = 5$

したがって、点 $P$ の座標は、$(0, -2)$ または $(7, 5)$

3. 最終的な答え

(1) 円 $K$ の中心の座標は $(3, 2)$ で、半径は $5$。

(2) 点 $P$ の座標は $(7, 5)$。