直角三角形ABCにおいて、角Bが $B = \sin^{-1} \frac{2}{5}$ で与えられている。 (1) 辺ACの長さを求めよ。辺BCの長さは $\sqrt{21}$、辺ABの長さは5である。 (2) 角Aを逆正弦関数を用いて表せ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、角Bが $B = \sin^{-1} \frac{2}{5}$ で与えられている。

(1) 辺ACの長さを求めよ。辺BCの長さは $\sqrt{21}$、辺ABの長さは5である。

(2) 角Aを逆正弦関数を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCは直角三角形なので、三平方の定理が成り立つ。

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$5^2 = AC^2 + (\sqrt{21})^2$

$25 = AC^2 + 21$

$AC^2 = 25 - 21 = 4$

$AC = \sqrt{4} = 2$

よって、辺ACの長さは2である。

(2)

三角形の内角の和は180度なので、直角三角形ABCにおいて、 $A + B + C = 180^\circ$ である。

$C = 90^\circ$なので、$A + B = 90^\circ$となる。

したがって、$A = 90^\circ - B = 90^\circ - \sin^{-1} \frac{2}{5}$である。

ここで、$A = \cos^{-1} \frac{2}{5}$とも言える。

なぜなら、 $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{5}$ なので、 $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{5}$ であり、$A$ は鋭角であるから、$A = \cos^{-1} \frac{2}{5}$ となる。

また、$A + B = 90^\circ$なので、$\sin A = \cos B$が成り立つ。

$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = 90^\circ$ を利用すると、

$A = 90^\circ - B = 90^\circ - \sin^{-1} \frac{2}{5} = \cos^{-1} \frac{2}{5}$となる。

$\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$A = \sin^{-1} \frac{\sqrt{21}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) ACの長さ: 2

(2) 角Aを逆正弦関数を用いて表すと $A = \sin^{-1} \frac{\sqrt{21}}{5}$