袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、以下の問いに答えよ。 (1) 3個が同じ色であるような取り出し方は何通りあるか。 (2) 少なくとも1個は白玉であるような取り出し方は何通りあるか。 ただし、玉はすべて区別するものとする。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、以下の問いに答えよ。

(1) 3個が同じ色であるような取り出し方は何通りあるか。

(2) 少なくとも1個は白玉であるような取り出し方は何通りあるか。

ただし、玉はすべて区別するものとする。

2. 解き方の手順

(1) 3個が同じ色である場合

赤玉3個を取り出す場合と、白玉3個を取り出す場合の2通りがある。

赤玉5個から3個を選ぶ組み合わせは、$_5C_3$通り。

白玉3個から3個を選ぶ組み合わせは、$_3C_3$通り。

したがって、3個が同じ色である取り出し方は、$_5C_3 + _3C_3$通り。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

$_3C_3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$

よって、求める取り出し方は、

$10 + 1 = 11$通り。

(2) 少なくとも1個は白玉である場合

まず、すべての取り出し方から、白玉が1つも含まれない（つまり、赤玉だけ3個を取り出す）取り出し方を引けばよい。

全体の取り出し方は、赤玉5個と白玉3個、計8個から3個を選ぶので、$_8C_3$通り。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

赤玉だけ3個を取り出す取り出し方は、$_5C_3 = 10$通り。

したがって、少なくとも1個は白玉である取り出し方は、

$56 - 10 = 46$通り。

3. 最終的な答え

(1) 11通り

(2) 46通り