$p$ と $q$ は0でない実数である。3次元ベクトル $\vec{a} = (\frac{p-1}{p}, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, \frac{q-1}{q}, 1)$, $\vec{c} = (1, 1, \frac{1}{2})$ が $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ を満たすとき、$l = 3p + 3q - 2$ の値を求める。

## 問題1の解答

1. 問題の内容

$p$ と $q$ は0でない実数である。3次元ベクトル $\vec{a} = (\frac{p-1}{p}, 1, 1)$, $\vec{b} = (1, \frac{q-1}{q}, 1)$, $\vec{c} = (1, 1, \frac{1}{2})$ が $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ を満たすとき、$l = 3p + 3q - 2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} \times \vec{b}$ を計算する。

$$$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

\frac{p-1}{p} & 1 & 1 \\

1 & \frac{q-1}{q} & 1

\end{vmatrix}

= \left(1 - \frac{q-1}{q}\right)\vec{i} - \left(\frac{p-1}{p} - 1\right)\vec{j} + \left(\frac{p-1}{p}\frac{q-1}{q} - 1\right)\vec{k}

$$$$

$$$$

= \left(\frac{1}{q}\right)\vec{i} - \left(-\frac{1}{p}\right)\vec{j} + \left(\frac{(p-1)(q-1)}{pq} - 1\right)\vec{k}

= \left(\frac{1}{q}, \frac{1}{p}, \frac{(p-1)(q-1) - pq}{pq}\right)

= \left(\frac{1}{q}, \frac{1}{p}, \frac{pq - p - q + 1 - pq}{pq}\right)

$$$$

$$$$

= \left(\frac{1}{q}, \frac{1}{p}, \frac{-p - q + 1}{pq}\right)

$$$$

次に、$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ を計算する。

$$$$

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \left(\frac{1}{q}, \frac{1}{p}, \frac{-p - q + 1}{pq}\right) \cdot \left(1, 1, \frac{1}{2}\right)

= \frac{1}{q} + \frac{1}{p} + \frac{-p - q + 1}{2pq} = 0

$$$$

両辺に $2pq$ を掛けると、

$$$$

2p + 2q + (-p - q + 1) = 0

$$$$

$$$$

p + q + 1 = 0

$$$$

$$$$

p + q = -1

$$$$

したがって、$l = 3p + 3q - 2 = 3(p + q) - 2 = 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5$.

3. 最終的な答え

$l = -5$

## 問題2の解答

1. 問題の内容

三角形ABCに対して$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{AB}$を示せ。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ である。よって、

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \times (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

ただし、同じベクトルの外積は0ベクトルなので、$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB} = \vec{0}$ を用いた。

次に、$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$より、$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{AB}$となる。

$\overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{AB}$を同様に変形する。$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$より、

$\overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CA} \times (\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}) = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{CA}$

これより、$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{AB}$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{AB}$