問題は3つあります。 (1) いくつかの確率に関する命題の真偽を答える。 (2) サイコロを1つ投げたときの出目をXとするとき、累積分布関数 $F_X$ を求める。 (3) $f(x) = x^3$ の導関数を定義に従って計算する。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) いくつかの確率に関する命題の真偽を答える。

(2) サイコロを1つ投げたときの出目をXとするとき、累積分布関数 $F_X$ を求める。

(3) $f(x) = x^3$ の導関数を定義に従って計算する。

2. 解き方の手順

(1) 真偽の判定

(a) 累積分布関数は非減少関数である。 **真**

(b) 累積分布関数 $F_X$ と確率質量関数 $P_X$ は等価である。 **偽** (離散型確率変数の場合、$F_X$と$P_X$は関連しているが、連続型確率変数の場合は等価ではない)

(c) 連続確率変数 $X$ が特定の実現値を取る確率は0である。 **真**

(d) 連続確率変数 $X$ の累積分布関数 $F_X$ は連続である。 **真**

(e) 確率密度関数 $f_X(x)$ は累積分布関数 $F_X$ の原始関数である。 **真**

(f) 確率密度関数 $f_X(x)$ の値は常に正である。 **偽** (0以上)

(g) 確率密度関数 $f_X(x)$ の値は1以下であるとは限らない。 **真**

(2) 累積分布関数の計算

サイコロの出目は1から6までの整数であり、それぞれの確率は $1/6$ である。

累積分布関数 $F_X(x)$ は、確率変数 $X$ が $x$ 以下の値をとる確率である。

したがって、

$F_X(x) = 0$, $x < 1$

$F_X(x) = 1/6$, $1 \le x < 2$

$F_X(x) = 2/6 = 1/3$, $2 \le x < 3$

$F_X(x) = 3/6 = 1/2$, $3 \le x < 4$

$F_X(x) = 4/6 = 2/3$, $4 \le x < 5$

$F_X(x) = 5/6$, $5 \le x < 6$

$F_X(x) = 1$, $x \ge 6$

(3) 導関数の計算

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = x^3$ なので、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2)$

$= 3x^2$

3. 最終的な答え

(1)

(a) 真

(b) 偽

(c) 真

(d) 真

(e) 真

(f) 偽

(g) 真

(2)

$F_X(x) =

\begin{cases}

0, & x < 1 \\

1/6, & 1 \le x < 2 \\

1/3, & 2 \le x < 3 \\

1/2, & 3 \le x < 4 \\

2/3, & 4 \le x < 5 \\

5/6, & 5 \le x < 6 \\

1, & x \ge 6

\end{cases}

$$

(3)

$f'(x) = 3x^2$