AとBが試合を行い、先に2勝した方が優勝する。各試合でAがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$ である。引き分けはないとする。 (ア) Aが優勝する確率を求めよ。 (イ) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求めよ。

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に2勝した方が優勝する。各試合でAがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$ である。引き分けはないとする。

(ア) Aが優勝する確率を求めよ。

(イ) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア) Aが優勝する確率は、Aが2連勝する場合と、Aが1勝1敗して3戦目でAが勝つ場合の和である。

* Aが2連勝する場合の確率は $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

* Aが1勝1敗して3戦目でAが勝つ場合、AB AまたはBA Aという勝利パターンである。

AB Aの確率は $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{27}$

BA Aの確率は $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{27}$

したがって、Aが1勝1敗して3戦目でAが勝つ確率は $\frac{4}{27} + \frac{4}{27} = \frac{8}{27}$

Aが優勝する確率は $\frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}$

(イ) Aが優勝した場合に2回目にBが勝つのは、Aが1勝1敗で優勝した場合のみである。

Aが1勝1敗で優勝する確率は$\frac{8}{27}$であった。

Aが優勝する確率は$\frac{20}{27}$であった。

したがって、Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率は、条件付き確率として求める。

求める確率は $\frac{\text{Aが1勝1敗で優勝する確率}}{\text{Aが優勝する確率}} = \frac{\frac{8}{27}}{\frac{20}{27}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{20}{27}$

(イ) $\frac{2}{5}$