AとBが試合を行い、先に2勝した方が優勝する。各試合でAがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$ で、引き分けはない。 (1) Aが優勝する確率を求める。 (2) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に2勝した方が優勝する。各試合でAがBに勝つ確率は $\frac{2}{3}$ で、引き分けはない。

(1) Aが優勝する確率を求める。

(2) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Aが優勝する場合を考える。

* 2連勝する場合：Aが2回連続で勝つ。確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

* 1勝1敗の後、Aが勝つ場合：Aが1勝1敗した後、Aが勝つ。試合の順番はBAまたはAB。それぞれの確率は $\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}$と$\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}$。よって$\frac{1}{3}\times\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\times\frac{1}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$。最後にAが勝つ確率は$\frac{4}{9}\times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$

Aが優勝する確率は、2連勝する場合と、1勝1敗の後Aが勝つ場合の確率の和である。

$P(Aが優勝) = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}$

(2) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

2回目にBが勝つのは、Aが1勝1敗した後、Aが勝つ場合のみ。つまりAが優勝し、かつ2回目にBが勝つ確率は $\frac{4}{9}\times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$。Aが優勝する確率は$\frac{20}{27}$なので条件付き確率は、

$P(2回目にBが勝つ | Aが優勝) = \frac{P(2回目にBが勝つ かつ Aが優勝)}{P(Aが優勝)} = \frac{\frac{4}{9}\times \frac{2}{3}}{\frac{20}{27}} = \frac{\frac{8}{27}}{\frac{20}{27}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

A. Aが優勝する確率は $\frac{20}{27}$

B. Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率は $\frac{2}{5}$