一辺の長さが3の正四面体OABCがあり、辺OC上にOD=1となる点Dを、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。 (1)三角形ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとき、線分OHの長さを求めよ。 (2)四面体OAEDの体積を求めよ。 (3)cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。A3の問題を解きます。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがあり、辺OC上にOD=1となる点Dを、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。

(1)三角形ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとき、線分OHの長さを求めよ。

(2)四面体OAEDの体積を求めよ。

(3)cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、正四面体OABCにおいて、$\triangle ABC$は一辺の長さが3の正三角形なので、外接円の半径Rは、正弦定理より、$R = \frac{3}{2\sin{60^\circ}} = \frac{3}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3}$

次に、正四面体OABCの点Oから平面ABCへの垂線の足Hは$\triangle ABC$の重心と一致する。したがって、AH = $\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 = \sqrt{3}$。

OA=3なので、三平方の定理より、$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9-3} = \sqrt{6}$

(2)

四面体OAEDの体積Vは、四面体OABCの体積から、四面体DBCEの体積を引くことで求められる。

まず、四面体OABCの体積は、$V_{OABC} = \frac{1}{3} \times \triangle ABC \times OH = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 \times \sqrt{6} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

次に、四面体DBCEの体積を考える。DB=OB-OD=3-1=2, BE=OB-OE=3-3/4=9/4, OC=3, CD=OC-OD=3-1=2

$V_{DBCE} = \frac{DB \cdot CE \cdot BE}{OC \cdot OB} V_{OABC} = \frac{2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{3} \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

よって、$V_{OAED} = V_{OABC} - V_{DBCE} = \frac{9\sqrt{2}}{4} - \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

(3)

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OA} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$|\overrightarrow{AE}|^2 = (\frac{3}{4})^2 |\overrightarrow{OB}|^2 + |\overrightarrow{OA}|^2 - 2 \cdot \frac{3}{4}\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} = \frac{9}{16} \cdot 9 + 9 - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{81}{16} + 9 - \frac{27}{4} = \frac{81 + 144 - 108}{16} = \frac{117}{16}$.

$|\overrightarrow{AE}| = \frac{3\sqrt{13}}{4}$

$|\overrightarrow{AD}|^2 = |\overrightarrow{OC}|^2 + |\overrightarrow{OA}|^2 - 2 \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = 9 + 9 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 = 18 - 9 = 9$.

$|\overrightarrow{AD}| = 3$

$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AD} = (\frac{3}{4}\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = \frac{3}{4} \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} - \frac{3}{4} \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} + |\overrightarrow{OA}|^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 9 + 9 = - \frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2}$

$cos \angle AED = \frac{\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{AD}|} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3\sqrt{13}}{4} \cdot 3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{9\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さをdとする。四面体OAEDの体積を2通りで表す。

$\frac{1}{3} \cdot \triangle AED \cdot d = V_{OAED} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\triangle AED = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AE}| |\overrightarrow{AD}| sin \angle AED = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{13}}{4} \cdot 3 \cdot \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{13}})^2} = \frac{9\sqrt{13}}{8} \sqrt{1 - \frac{4}{13}} = \frac{9\sqrt{13}}{8} \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{9\sqrt{13}}{8} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{27}{8}$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} \cdot d = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\frac{9}{8} d = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$d = \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 外接円の半径: $\sqrt{3}$、線分OHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

(3) $\cos{\angle AED} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さ: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$