一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点D、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。 (1) 三角形ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。 (2) 四面体OAEDの体積を求めよ。 (3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点D、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。

(1) 三角形ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。

(2) 四面体OAEDの体積を求めよ。

(3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCは正三角形なので、外接円の半径Rは、$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ で求められる。ここで、$a$ は正三角形の一辺の長さである。この問題の場合、$a = 3$ なので、$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ となる。

次に、OHの長さを求める。正四面体OABCにおいて、点Hは三角形ABCの重心である。

正四面体の高さOHは、$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2}$ で求められる。ここで、$AH = \frac{2}{3}AM$ であり、$AM$ は三角形ABCの中線である。$AM = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ であり、この問題の場合、$a = 3$ なので、$AM = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ となる。

したがって、$AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ となる。

よって、$OH = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}$ となる。

(2) 四面体OAEDの体積Vを求める。

四面体OABCの体積は、$V_{OABC} = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 3^3 = \frac{9\sqrt{2}}{4}$ である。

四面体OAEDの体積は、$V_{OAED} = \frac{OD}{OC} \cdot \frac{OE}{OB} \cdot V_{OABC}$ で求められる。

$V_{OAED} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3/4}{3} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{16}$ となる。

(3) cos∠AEDの値を求める。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とする。

$\vec{OE} = \frac{3}{4}\vec{b}$, $\vec{OD} = \vec{c}$

$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{ED} = \vec{OD} - \vec{OE} = \vec{c} - \frac{3}{4}\vec{b}$

$|\vec{AE}|^2 = (\frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a})^2 = \frac{9}{16}|\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - \frac{3}{2}\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{9}{16} \cdot 9 + 9 - \frac{3}{2} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{81}{16} + 9 - \frac{27}{4} = \frac{81+144-108}{16} = \frac{117}{16}$

$|\vec{AD}|^2 = (\vec{c} - \vec{a})^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c} = 9 + 9 - 2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 18 - 9 = 9$

$|\vec{ED}|^2 = (\vec{c} - \frac{3}{4}\vec{b})^2 = |\vec{c}|^2 + \frac{9}{16}|\vec{b}|^2 - \frac{3}{2}\vec{b} \cdot \vec{c} = 9 + \frac{9}{16} \cdot 9 - \frac{3}{2} \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 9 + \frac{81}{16} - \frac{27}{4} = \frac{144+81-108}{16} = \frac{117}{16}$

$|\vec{AE}| = \sqrt{\frac{117}{16}} = \frac{3\sqrt{13}}{4}$, $|\vec{AD}| = 3$, $|\vec{ED}| = \frac{3\sqrt{13}}{4}$

$\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (\frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = \frac{3}{4}\vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{3}{4}\vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{a}\cdot\vec{a} = \frac{3}{4}\cdot 9 \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{4}\cdot 9 \cdot \frac{1}{2} - 9 \cdot \frac{1}{2} + 9 = \frac{27}{8} - \frac{27}{8} - \frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2}$

$cos\angle AED = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3\sqrt{13}}{4} \cdot 3} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{9\sqrt{13}}{4}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{9\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

点Oから平面AEDに下ろした垂線の長さをhとする。

四面体OAEDの体積は、$V_{OAED} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle AED} \cdot h$ でもある。

$S_{\triangle AED} = \frac{1}{2} |\vec{AE}| |\vec{AD}| sin\angle EAD = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{13}}{4} \cdot 3 \cdot \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{13}})^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9\sqrt{13}}{4} \cdot \sqrt{1 - \frac{4}{13}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9\sqrt{13}}{4} \cdot \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9\sqrt{13}}{4} \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{27}{8}$

$V_{OAED} = \frac{3\sqrt{2}}{16} = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} \cdot h$

$h = \frac{3\sqrt{2}}{16} \cdot \frac{3 \cdot 8}{27} = \frac{3\sqrt{2}}{16} \cdot \frac{8}{9} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 外接円の半径: $\sqrt{3}$, OHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{3\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AED: $\frac{2\sqrt{13}}{13}$, 垂線の長さ: $\frac{\sqrt{2}}{6}$