正八角形の3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるか。

1. 問題の内容

正八角形の3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるか。

2. 解き方の手順

正八角形の頂点の数を$n$とすると、$n = 8$である。

まず、正八角形の3個の頂点を選んでできる三角形の総数を計算する。これは8個から3個を選ぶ組み合わせなので、

$$$$

{}_{8}C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

$$$$

次に、正八角形と辺を共有する三角形の数を計算する。

正八角形の辺を1つ共有する三角形は、共有する辺の両端の頂点以外の頂点を1つ選べばよい。頂点は8個なので、辺は8本ある。各辺について、残りの頂点は8-2-1=5個から選べる。従って、辺を1つ共有する三角形は$8 \times 5 = 40$個である。

ただし、正八角形の2つの辺を共有する三角形は8個ある。

したがって、正八角形と少なくとも1辺を共有する三角形の数は、辺を1つ共有する三角形の数と2つ共有する三角形の数を足し合わせる。つまり、$40 + 8 = 48$個である。

正八角形と辺を共有しない三角形の数は、三角形の総数から正八角形と少なくとも1辺を共有する三角形の数を引けばよい。

したがって、正八角形と辺を共有しない三角形の数は、$56 - 48 = 8$個である。

3. 最終的な答え

8個