袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個の合計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認して元に戻す試行を繰り返す。 以下のいずれかの条件を満たした場合、試行を終了する。 * 赤玉を1回取り出す * 青玉を2回取り出す * 白玉を3回取り出す 試行を終了するまでに玉を取り出した回数を $X$ とする。 (1) $X=1$ となる確率を求めよ。 (2) 2回の試行で青玉を2回取り出し、試行を終了する確率を求めよ。また、$X=2$ となる確率を求めよ。 (3) $X=4$ となる確率を求めよ。また、$X$ の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個の合計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認して元に戻す試行を繰り返す。

以下のいずれかの条件を満たした場合、試行を終了する。

* 赤玉を1回取り出す

* 青玉を2回取り出す

* 白玉を3回取り出す

試行を終了するまでに玉を取り出した回数を $X$ とする。

(1) $X=1$ となる確率を求めよ。

(2) 2回の試行で青玉を2回取り出し、試行を終了する確率を求めよ。また、$X=2$ となる確率を求めよ。

(3) $X=4$ となる確率を求めよ。また、$X$ の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X=1$ となるのは、1回目に赤玉を取り出す場合のみである。

赤玉を引く確率は $\frac{1}{4}$ なので、$X=1$ となる確率は $\frac{1}{4}$ である。

(2) 2回の試行で青玉を2回取り出し試行が終了する確率は、1回目と2回目に青玉を取り出す確率である。これは $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ である。

$X=2$ となるのは、以下の3つの場合である。

* 1回目に青玉、2回目に青玉

* 1回目に赤玉以外、2回目に赤玉

これらの確率を計算する。

1回目に青玉、2回目に青玉の場合の確率は$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

1回目に白玉、2回目に赤玉の場合の確率は$\frac{2}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{16}$

1回目に青玉、2回目に青玉と白玉３回は同時には起きないので、これらを足し合わせる。

$X=2$ となる確率は$\frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{3}{16}$

(3) $X=4$となるのは以下のいずれかの条件が満たされる場合である。

* 4回目に赤玉が出て、それまでは一度も赤玉が出ていない。また、青玉は1回以下しか出ておらず、白玉は2回以下しか出ていない。

* 4回目に青玉が出て試行が終了する。３回目まで青玉は一回も出ておらず、3回目に白玉を引くと試行が終わってしまうので、白玉も2回しか引いてはいけない。そして4回目に青玉を引く。

* 4回目に白玉が出て試行が終了する。３回目まで白玉は2回以下であり、4回目に白玉を引く。

X=4となる確率を求める前に、X=3となる確率を求める。

X=3となるのは以下のいずれかの条件が満たされる場合である。

* 3回目に赤玉が出て試行が終了する

* 3回目に青玉が出て試行が終了する

* 3回目に白玉が出て試行が終了する

X=3となる確率をそれぞれ計算する。

(a) 3回目に赤玉が出て試行が終了する場合。これは、1,2回目に赤玉以外の玉が出て、3回目に赤玉が出る場合である。

$P(X=3, 赤) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}$

* 1,2回目に青玉が1回ずつ出る場合：$\frac{1}{4} * \frac{1}{4} * \frac{1}{4} = \frac{1}{64}$

* 1,2回目に青玉が１回、白玉が１回出る場合：$2*\frac{1}{4} * \frac{2}{4} * \frac{1}{4} = \frac{4}{64}$

* 1,2回目に白玉が2回でる場合：$\frac{2}{4} * \frac{2}{4} * \frac{1}{4} = \frac{4}{64}$

これらを足すと $\frac{1+4+4}{64} = \frac{9}{64}$

(b) 3回目に青玉が出て試行が終了する場合。これは、1,2回目に青玉以外が出て、3回目に青玉が出る場合である。3回目に青玉が出て試行が終了する条件は、3回目に青玉を引いた時点で、青玉が2回出ている事である。つまり1,2回目に青玉が1回ずつ出ている必要がある。

よってこの確率は $P(X=3, 青) = \frac{3}{4} * \frac{3}{4} * \frac{1}{4}$

白を３回引いて終了するケースは

白-白-白で$\frac{2}{4} * \frac{2}{4} * \frac{2}{4} = \frac{8}{64}$

上記のX=1,2,3の値と、それぞれの確率を足して1になるか確認する。

$\frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{8+9}{64} = \frac{16+12+17}{64} = \frac{45}{64}$

4回目で終わる確率は

1-45/64 = 19/64

期待値$E(X) = 1 * \frac{1}{4} + 2 * \frac{3}{16} + 3 * \frac{17}{64} + 4 * \frac{19}{64} = \frac{16+12*2+3*17+4*19}{64} = \frac{16+24+51+76}{64} = \frac{167}{64}$

3. 最終的な答え

(1) $X=1$ となる確率は $\frac{1}{4}$

(2) 2回の試行で青玉を2回取り出し試行が終了する確率は $\frac{1}{16}$、$X=2$ となる確率は $\frac{3}{16}$

(3) $X=4$ となる確率は $\frac{19}{64}$、$X$ の期待値は $\frac{167}{64}$