正十角形の3個の頂点を結んで三角形を作るとき、 (1) 正十角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。 (2) 正十角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

1. 問題の内容

正十角形の3個の頂点を結んで三角形を作るとき、

(1) 正十角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。

(2) 正十角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。

正十角形の辺を1つ選び、その辺を共有する三角形を考える。

選んだ辺の両端の頂点以外の頂点を1つ選べば三角形ができる。

ただし、正十角形と2辺を共有する三角形は除外する必要がある。

正十角形の頂点は10個あるので、選んだ辺の両端の頂点以外の頂点は$10 - 2 = 8$個。

そのうち、両隣の頂点を選ぶと2辺を共有する三角形となるので、それらを除外すると、$8 - 2 = 6$個。

正十角形には10辺あるので、1辺だけを共有する三角形の数は$10 \times 6 = 60$個。

(2) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

正十角形の頂点から3つを選ぶ選び方は全部で ${}_{10}C_3$ 通りである。

${}_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 通り。

正十角形と2辺を共有する三角形の数は、頂点の選び方が10通りあるので10個。

正十角形と1辺を共有する三角形の数は(1)より60個。

したがって、正十角形と辺を共有しない三角形の数は

$120 - 10 - 60 = 50$個。

3. 最終的な答え

(1) 60個

(2) 50個