3点A(-2, 1), B(1, 4), C(0, 5)を頂点とする三角形ABCの外接円の半径と外心の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

3点A(-2, 1), B(1, 4), C(0, 5)を頂点とする三角形ABCの外接円の半径と外心の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、外心の座標を(x, y)とおきます。外心は三角形の各頂点からの距離が等しい点なので、以下の式が成り立ちます。

$OA^2 = OB^2 = OC^2$

ここで、$O$は外心を表します。

$OA^2 = (x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = (x+2)^2 + (y-1)^2$

$OB^2 = (x - 1)^2 + (y - 4)^2$

$OC^2 = (x - 0)^2 + (y - 5)^2 = x^2 + (y-5)^2$

$OA^2 = OB^2$より

$(x+2)^2 + (y-1)^2 = (x-1)^2 + (y-4)^2$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16$

$4x - 2y + 5 = -2x - 8y + 17$

$6x + 6y = 12$

$x + y = 2$ ...(1)

$OB^2 = OC^2$より

$(x-1)^2 + (y-4)^2 = x^2 + (y-5)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + y^2 - 10y + 25$

$-2x - 8y + 17 = -10y + 25$

$-2x + 2y = 8$

$-x + y = 4$ ...(2)

(1) + (2)より

$2y = 6$

$y = 3$

(1)に代入して

$x + 3 = 2$

$x = -1$

したがって、外心の座標は(-1, 3)です。

外接円の半径Rは、$R^2 = OC^2$で求められます。

$R^2 = (-1)^2 + (3-5)^2 = 1 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$

$R = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

外心の座標: (-1, 3)

外接円の半径: $\sqrt{5}$