次の三角不等式を解きます。 (1) $\sqrt{3}\sin 2\theta - \cos 2\theta < 1$ ($0 \le \theta < 2\pi$) (2) $3\sqrt{3}\sin \theta + \cos 2\theta - 4 < 0$ ($0 \le \theta < 2\pi$)

1. 問題の内容

次の三角不等式を解きます。

(1) $\sqrt{3}\sin 2\theta - \cos 2\theta < 1$ ($0 \le \theta < 2\pi$)

(2) $3\sqrt{3}\sin \theta + \cos 2\theta - 4 < 0$ ($0 \le \theta < 2\pi$)

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{3}\sin 2\theta - \cos 2\theta < 1$

左辺を合成します。$r\sin(2\theta - \alpha)$ の形を目指します。ここで $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ です。

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、

$2\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) < 1$

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{2}$

$2\theta - \frac{\pi}{6} = x$ とおくと、$\sin x < \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $0 \le 2\theta < 4\pi$ なので $-\frac{\pi}{6} \le 2\theta - \frac{\pi}{6} < 4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$

$\sin x < \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は、$-\frac{\pi}{6} \le x < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{13\pi}{6}$ または $\frac{17\pi}{6} < x < \frac{23\pi}{6}$

$2\theta - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{6}$ より $2\theta < \frac{\pi}{3}$ よって $\theta < \frac{\pi}{6}$

$2\theta - \frac{\pi}{6} > \frac{5\pi}{6}$ より $2\theta > \pi$ よって $\theta > \frac{\pi}{2}$

$2\theta - \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6}$ より $2\theta < \frac{14\pi}{6}$ よって $\theta < \frac{7\pi}{6}$

$2\theta - \frac{\pi}{6} > \frac{17\pi}{6}$ より $2\theta > 3\pi$ よって $\theta > \frac{3\pi}{2}$

$2\theta - \frac{\pi}{6} < \frac{23\pi}{6}$ より $2\theta < 4\pi$ よって $\theta < 2\pi$

したがって、

$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

(2)

$3\sqrt{3}\sin \theta + \cos 2\theta - 4 < 0$

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を代入すると、

$3\sqrt{3}\sin \theta + 1 - 2\sin^2\theta - 4 < 0$

$-2\sin^2\theta + 3\sqrt{3}\sin \theta - 3 < 0$

$2\sin^2\theta - 3\sqrt{3}\sin \theta + 3 > 0$

$\sin \theta = t$ とおくと、$2t^2 - 3\sqrt{3}t + 3 > 0$

$t = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{27 - 24}}{4} = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{4}$

$t = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ または $t = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2t^2 - 3\sqrt{3}t + 3 = 2(t - \frac{\sqrt{3}}{2})(t - \sqrt{3}) > 0$

$t < \frac{\sqrt{3}}{2}$ または $t > \sqrt{3}$

$\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ または $\sin \theta > \sqrt{3}$

$-1 \le \sin \theta \le 1$ より、$\sin \theta > \sqrt{3}$ は解なし。

$\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$ を除く。

$0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

(2) $0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$