放物線 $y = mx^2 + (1-2m)x + 4m$ の $y$ の値が常に負になるような定数 $m$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = mx^2 + (1-2m)x + 4m$ の $y$ の値が常に負になるような定数 $m$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

放物線 $y = mx^2 + (1-2m)x + 4m$ の $y$ の値が常に負になるためには、以下の2つの条件を満たす必要がある。

* $m < 0$ (上に凸)

* 判別式 $D < 0$

判別式 $D$ は次のように計算できる。

$D = (1-2m)^2 - 4m(4m)$

$D = 1 - 4m + 4m^2 - 16m^2$

$D = -12m^2 - 4m + 1$

$D < 0$ を満たすためには、

$-12m^2 - 4m + 1 < 0$

$12m^2 + 4m - 1 > 0$

二次方程式 $12m^2 + 4m - 1 = 0$ の解を求める。

$m = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(12)(-1)}}{2(12)}$

$m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{24}$

$m = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{24}$

$m = \frac{-4 \pm 8}{24}$

したがって、

$m_1 = \frac{-4 - 8}{24} = \frac{-12}{24} = -\frac{1}{2}$

$m_2 = \frac{-4 + 8}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

$12m^2 + 4m - 1 > 0$ を満たす $m$ の範囲は、

$m < -\frac{1}{2}$ または $m > \frac{1}{6}$

条件 $m < 0$ と $m < -\frac{1}{2}$ または $m > \frac{1}{6}$ を両方満たす $m$ の範囲は、

$m < -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$m < -\frac{1}{2}$