定積分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。これは $\arcsin x + C$ であることが知られています。

したがって、

$\int \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} dx = 3 \arcsin x + C$

定積分を計算するために、$3 \arcsin x$ に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} dx = [3 \arcsin x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = 3 \arcsin(\frac{1}{2}) - 3 \arcsin(-\frac{1}{2})$

$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ なので、

$3 \arcsin(\frac{1}{2}) - 3 \arcsin(-\frac{1}{2}) = 3(\frac{\pi}{6}) - 3(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$