## 解答

## 解答

###

1. 問題の内容

与えられた不定積分を、指定された変数変換を用いて計算する問題です。

(1) $\int \frac{\cos x}{(8+\sin x)^4} dx$ ($u = \sin x$)

(2) $\int \frac{3(\log x)^5}{x} dx$ ($u = \log x$)

###

2. 解き方の手順

(1)

(a) $u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となります。したがって、積分は

$\int \frac{1}{(8+u)^4} du$

となります。

(b) $\int \frac{1}{(8+u)^4} du = \int (8+u)^{-4} du$ となり、$v = 8+u$ と置換すると、$dv = du$ なので、

$\int v^{-4} dv = \frac{v^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3v^3} + C = -\frac{1}{3(8+u)^3} + C$

ここで、$u = \sin x$ なので、

$-\frac{1}{3(8+\sin x)^3} + C$

(2)

(a) $u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。したがって、積分は

$\int 3u^5 du$

となります。

(b) $\int 3u^5 du = 3 \int u^5 du = 3 \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{2} + C$

ここで、$u = \log x$ なので、

$\frac{(\log x)^6}{2} + C$

###

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{3(8+\sin x)^3} + C$

(2) $\frac{(\log x)^6}{2} + C$