与えられた2つの三角関数の最大値と最小値を求める。 (1) $y = \sqrt{3} \cos \theta + \cos 2\theta + \sin^2 \theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) (2) $y = 5 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta - 3 \sin^2 \theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)

1. 問題の内容

与えられた2つの三角関数の最大値と最小値を求める。

(1) $y = \sqrt{3} \cos \theta + \cos 2\theta + \sin^2 \theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$)

(2) $y = 5 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta - 3 \sin^2 \theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)

2. 解き方の手順

(1)

$y = \sqrt{3} \cos \theta + \cos 2\theta + \sin^2 \theta$ を変形する。

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ を用いると、

$y = \sqrt{3} \cos \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \sin^2 \theta = \sqrt{3} \cos \theta + \cos^2 \theta$

$t = \cos \theta$ とおくと、$y = t^2 + \sqrt{3}t$ となる。ここで、$-1 \le t \le 1$。

$y = t^2 + \sqrt{3}t = (t + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \frac{3}{4}$

軸は $t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、これは $-1 \le t \le 1$ の範囲内にある。

$t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y = -\frac{3}{4}$ (最小値)。

$t = 1$ のとき、$y = 1 + \sqrt{3}$ (最大値)。

(2)

$y = 5 \cos^2 \theta + 8 \sin \theta \cos \theta - 3 \sin^2 \theta$ を変形する。

$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$, $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$, $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を用いると、

$y = 5 \frac{1 + \cos 2\theta}{2} + 4 \sin 2\theta - 3 \frac{1 - \cos 2\theta}{2} = \frac{5 + 5 \cos 2\theta + 8 \sin 2\theta - 3 + 3 \cos 2\theta}{2} = \frac{2 + 8 \cos 2\theta + 8 \sin 2\theta}{2} = 1 + 4\cos 2\theta + 4 \sin 2\theta$

$y = 1 + 4(\cos 2\theta + \sin 2\theta)$

$y = 1 + 4\sqrt{2} \sin (2\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\frac{\pi}{4} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$。

$\sin (2\theta + \frac{\pi}{4})$ の最大値は 1 ($2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ つまり $\theta = \frac{\pi}{8}$ のとき)。

$\sin (2\theta + \frac{\pi}{4})$ の最小値は $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($2\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ つまり $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき)。

最大値は $1 + 4\sqrt{2}$。

最小値は $1 + 4\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - 4 = -3$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $1+\sqrt{3}$, 最小値: $-\frac{3}{4}$

(2) 最大値: $1+4\sqrt{2}$, 最小値: $-3$