8人を以下の3つの場合に分ける場合の数を求めます。 (1) A, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける。 (2) 2人ずつの4つの組に分ける。 (3) 3人、3人、2人の3つの組に分ける。

1. 問題の内容

8人を以下の3つの場合に分ける場合の数を求めます。

(1) A, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける。

(2) 2人ずつの4つの組に分ける。

(3) 3人、3人、2人の3つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, Dの4つの組に、2人ずつ分ける場合

まず、Aの組に入れる2人を選ぶ方法は $_8C_2$ 通り。

次に、残りの6人からBの組に入れる2人を選ぶ方法は $_6C_2$ 通り。

さらに、残りの4人からCの組に入れる2人を選ぶ方法は $_4C_2$ 通り。

最後に、残りの2人からDの組に入れる2人を選ぶ方法は $_2C_2$ 通り。

したがって、この場合の分け方は、

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$ 通り。

(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合

(1)で求めた分け方では、A, B, C, Dの区別があるので、区別をなくすために4!で割る必要がある。

したがって、この場合の分け方は、

$\frac{_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{4!} = \frac{2520}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$ 通り。

(3) 3人、3人、2人の3つの組に分ける場合

まず、8人から3人を選ぶ方法は $_8C_3$ 通り。

次に、残りの5人から3人を選ぶ方法は $_5C_3$ 通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ方法は $_2C_2$ 通り。

3人の組が2つあるので、2!で割る必要がある。

したがって、この場合の分け方は、

$\frac{_8C_3 \times _5C_3 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 1}{2} = \frac{56 \times 10 \times 1}{2} = \frac{560}{2} = 280$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り

(3) 280通り