次の関数の最大値と最小値を求めよ。 $y = \sin\theta + \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + \sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求めよ。

$y = \sin\theta + \sin(\theta + \frac{\pi}{3}) + \sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$

2. 解き方の手順

まず、三角関数の加法定理を用いて、$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$と$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$を展開します。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) = \sin\theta \cos\frac{2}{3}\pi + \cos\theta \sin\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

これらを元の式に代入します。

$y = \sin\theta + (\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) + (-\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta)$

$y = \sin\theta + \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

$y = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

次に、三角関数の合成を行います。

$y = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta)$

$y = 2(\cos\frac{\pi}{3}\sin\theta + \sin\frac{\pi}{3}\cos\theta)$

$y = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

$\sin$関数の最大値は1、最小値は-1なので、

$y$の最大値は$2 \times 1 = 2$、最小値は$2 \times (-1) = -2$となります。

3. 最終的な答え

最大値：2

最小値：-2