関数 $f(x, y)$ が次のように定義されているとき、原点$(0, 0)$ での連続性を調べよ。 $$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $$

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ が次のように定義されているとき、原点$(0, 0)$ での連続性を調べよ。

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f(x, y) = \begin{cases}

\frac{xy^2}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}

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2. 解き方の手順

関数 $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続であるためには、次の条件が成り立つ必要があります。

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\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = f(0, 0)

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ここで、$f(0, 0) = 0$ であるので、

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\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = 0

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が成り立つかどうかを調べる必要があります。

極座標変換 $x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ を用いると、

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\frac{xy^2}{x^2 + y^2} = \frac{(r \cos\theta)(r \sin\theta)^2}{(r \cos\theta)^2 + (r \sin\theta)^2} = \frac{r^3 \cos\theta \sin^2\theta}{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \frac{r^3 \cos\theta \sin^2\theta}{r^2} = r \cos\theta \sin^2\theta

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ここで、$(x, y) \to (0, 0)$ は $r \to 0$ と同値なので、

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\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin^2\theta

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$|\cos\theta \sin^2\theta| \leq 1$ であるから、

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|r \cos\theta \sin^2\theta| \leq |r|

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したがって、

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\lim_{r \to 0} |r \cos\theta \sin^2\theta| \leq \lim_{r \to 0} |r| = 0

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よって、

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\lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin^2\theta = 0

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以上より、

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\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0 = f(0, 0)

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したがって、$f(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続である。

3. 最終的な答え

$f(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続である。