関数 $f(x,y)$ が与えられています。 $f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ (ただし $(x,y) \neq (0,0)$) $f(0,0) = 0$ この関数が $(0,0)$ で連続かどうかを調べてください。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が与えられています。

$f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ (ただし $(x,y) \neq (0,0)$)

$f(0,0) = 0$

この関数が $(0,0)$ で連続かどうかを調べてください。

2. 解き方の手順

$(0,0)$ で連続であるとは、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)$ が成り立つことです。

ここでは $f(0,0) = 0$ なので、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = 0$ を示す必要があります。

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$(x,y) \to (0,0)$ は $r \to 0$ と同値です。

したがって、

$f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = \frac{r\cos\theta (r\sin\theta)^2}{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2} = \frac{r^3 \cos\theta \sin^2\theta}{r^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \frac{r^3 \cos\theta \sin^2\theta}{r^2} = r \cos\theta \sin^2\theta$

となります。

したがって、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin^2\theta$

となります。

ここで、$-1 \leq \cos\theta \leq 1$ かつ $-1 \leq \sin\theta \leq 1$ であるため、

$|\cos\theta \sin^2\theta| \leq 1$ です。

したがって、

$|r \cos\theta \sin^2\theta| \leq |r|$

が成り立ちます。

$r \to 0$ のとき $|r| \to 0$ であるため、挟み撃ちの原理より

$\lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin^2\theta = 0$

が成り立ちます。

したがって、

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$

となるため、$f(x,y)$ は $(0,0)$ で連続です。

3. 最終的な答え

連続である。