$y = x^2 - 8$ のグラフと $x$ 軸によって囲まれる部分の面積を求めます。

はい、承知いたしました。問題7と問題8についてそれぞれ回答します。

**問題7の回答**

1. 問題の内容

$y = x^2 - 8$ のグラフと $x$ 軸によって囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 8 = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x^2 = 8$

$x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

したがって、積分範囲は $-2\sqrt{2} \le x \le 2\sqrt{2}$ となります。

求める面積は、$\int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} |x^2 - 8| dx$ です。

区間内では $x^2 - 8 \le 0$ なので、

$\int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} -(x^2 - 8) dx = \int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} (8 - x^2) dx$ を計算します。

$\int (8 - x^2) dx = 8x - \frac{1}{3}x^3 + C$

したがって、

$\int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} (8 - x^2) dx = [8x - \frac{1}{3}x^3]_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}$

$= (8(2\sqrt{2}) - \frac{1}{3}(2\sqrt{2})^3) - (8(-2\sqrt{2}) - \frac{1}{3}(-2\sqrt{2})^3)$

$= (16\sqrt{2} - \frac{1}{3}(16\sqrt{2})) - (-16\sqrt{2} + \frac{1}{3}(16\sqrt{2}))$

$= 16\sqrt{2} - \frac{16\sqrt{2}}{3} + 16\sqrt{2} - \frac{16\sqrt{2}}{3}$

$= 32\sqrt{2} - \frac{32\sqrt{2}}{3} = \frac{96\sqrt{2} - 32\sqrt{2}}{3} = \frac{64\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{64\sqrt{2}}{3}$

**問題8の回答**

1. 問題の内容

$y = x^2 + x - 2$ のグラフと $y = 3x + 6$ のグラフによって囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + x - 2 = 3x + 6$ となる $x$ の値を求めます。

$x^2 + x - 2 - 3x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

$(x - 4)(x + 2) = 0$

$x = 4, -2$

したがって、積分範囲は $-2 \le x \le 4$ となります。

求める面積は、$\int_{-2}^{4} |(x^2 + x - 2) - (3x + 6)| dx$ です。

$\int_{-2}^{4} |x^2 - 2x - 8| dx$

区間内では $x^2 - 2x - 8 \le 0$ なので、

$\int_{-2}^{4} -(x^2 - 2x - 8) dx = \int_{-2}^{4} (-x^2 + 2x + 8) dx$ を計算します。

$\int (-x^2 + 2x + 8) dx = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 8x + C$

したがって、

$\int_{-2}^{4} (-x^2 + 2x + 8) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 8x]_{-2}^{4}$

$= (-\frac{1}{3}(4)^3 + (4)^2 + 8(4)) - (-\frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + 8(-2))$

$= (-\frac{64}{3} + 16 + 32) - (\frac{8}{3} + 4 - 16)$

$= (-\frac{64}{3} + 48) - (\frac{8}{3} - 12)$

$= -\frac{64}{3} + 48 - \frac{8}{3} + 12 = -\frac{72}{3} + 60 = -24 + 60 = 36$

3. 最終的な答え

36