与えられた2つの関数 $z$ の偏導関数を求める問題です。 (1) $z = \frac{x^2}{y}$ (2) $z = xye^{2y}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $z$ の偏導関数を求める問題です。

(1) $z = \frac{x^2}{y}$

(2) $z = xye^{2y}$

2. 解き方の手順

(1) $z = \frac{x^2}{y}$ の場合

* $x$ に関する偏導関数を求めます。$y$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{y}$

* $y$ に関する偏導関数を求めます。$x$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 \cdot (-\frac{1}{y^2}) = -\frac{x^2}{y^2}$

(2) $z = xye^{2y}$ の場合

* $x$ に関する偏導関数を求めます。$y$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial x} = ye^{2y}$

* $y$ に関する偏導関数を求めます。$x$ は定数として扱います。積の微分 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

$\frac{\partial z}{\partial y} = x(1 \cdot e^{2y} + y \cdot 2e^{2y}) = x(e^{2y} + 2ye^{2y}) = xe^{2y}(1 + 2y)$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{y}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x^2}{y^2}$

(2)

$\frac{\partial z}{\partial x} = ye^{2y}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = xe^{2y}(1 + 2y)$