問題は、曲面 $z = f(x, y)$ 上の点 $(a, b, c)$ における接平面の方程式を求め、さらに曲面 $z = xy$ 上の点 $(4, 1, 4)$ における接平面の方程式を求めるというものです。

1. 問題の内容

問題は、曲面 $z = f(x, y)$ 上の点 $(a, b, c)$ における接平面の方程式を求め、さらに曲面 $z = xy$ 上の点 $(4, 1, 4)$ における接平面の方程式を求めるというものです。

2. 解き方の手順

(1) 一般的な接平面の方程式:

曲面 $z = f(x, y)$ 上の点 $(a, b, c)$ における接平面の方程式は、次の式で与えられます。

$z - c = f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$

ここで、$f_x(a, b)$ は $f(x, y)$ の $x$ に関する偏微分を $(a, b)$ で評価したものであり、$f_y(a, b)$ は $f(x, y)$ の $y$ に関する偏微分を $(a, b)$ で評価したものです。

(2) 具体的な接平面の方程式:

曲面が $z = xy$ で、点が $(4, 1, 4)$ である場合を考えます。

まず、$f(x, y) = xy$ とおきます。

$f_x(x, y) = y$

$f_y(x, y) = x$

点 $(4, 1)$ における偏微分を計算します。

$f_x(4, 1) = 1$

$f_y(4, 1) = 4$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - 4 = 1(x - 4) + 4(y - 1)$

$z - 4 = x - 4 + 4y - 4$

$z = x + 4y - 4$

3. 最終的な答え

曲面 $z = f(x, y)$ 上の点 $(a, b, c)$ における接平面の方程式は、

$z - c = f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b)$

曲面 $z = xy$ 上の点 $(4, 1, 4)$ における接平面の方程式は、

$z = x + 4y - 4$