関数 $z = f(x, y)$ の全微分の定義式を記述し、また、関数 $z = \sqrt{(x^2 - 5y)^3}$ の全微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $z = f(x, y)$ の全微分の定義式を記述し、また、関数 $z = \sqrt{(x^2 - 5y)^3}$ の全微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 全微分の定義式

関数 $z = f(x, y)$ の全微分 $dz$ は、次のように定義されます。

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

ここで、$\frac{\partial z}{\partial x}$ は $z$ の $x$ に関する偏微分、$\frac{\partial z}{\partial y}$ は $z$ の $y$ に関する偏微分を表します。

(2) $z = \sqrt{(x^2 - 5y)^3}$ の全微分

まず、関数 $z$ を $(x^2 - 5y)^{\frac{3}{2}}$ と書き換えます。

$z = (x^2 - 5y)^{\frac{3}{2}}$

次に、$x$ と $y$ に関する偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3}{2}(x^2 - 5y)^{\frac{1}{2}} \cdot 2x = 3x\sqrt{x^2 - 5y}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3}{2}(x^2 - 5y)^{\frac{1}{2}} \cdot (-5) = -\frac{15}{2}\sqrt{x^2 - 5y}$

したがって、全微分 $dz$ は次のようになります。

$dz = 3x\sqrt{x^2 - 5y} dx - \frac{15}{2}\sqrt{x^2 - 5y} dy$

$dz = \sqrt{x^2 - 5y} (3x dx - \frac{15}{2} dy)$

3. 最終的な答え

全微分の定義式：

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

$z = \sqrt{(x^2 - 5y)^3}$ の全微分：

$dz = \sqrt{x^2 - 5y} (3x dx - \frac{15}{2} dy)$