関数 $y = 3\sin(a\theta - b)$ のグラフが与えられている。$a>0$, $0<b<2\pi$ のとき、$a$, $b$ および図中の目盛り $A$ の値を求め、周期を答えよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題(11)を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\sin(a\theta - b)$ のグラフが与えられている。$a>0$, $0<b<2\pi$ のとき、$a$, $b$ および図中の目盛り $A$ の値を求め、周期を答えよ。

2. 解き方の手順

まず、グラフから読み取れる情報を整理します。

* 振幅は3である (グラフの最大値は3、最小値は-3)

* 周期は $A - \frac{\pi}{3}$である

* グラフは$\theta = \frac{\pi}{3}$のとき最小値をとる

* グラフは$\theta = \frac{\pi}{2}$のとき0を通る（増加傾向）

次に、関数の式から周期と位相を求めます。

関数 $y = 3\sin(a\theta - b)$ の周期は $\frac{2\pi}{a}$ です。

位相（グラフのずれ）は $\frac{b}{a}$で表されます。

$\theta = \frac{\pi}{3}$で最小値をとるので, $a(\frac{\pi}{3}) - b = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数) となります。ここでは$0 < b < 2\pi$という条件があるので、$n=0$の時を考えると, $a(\frac{\pi}{3}) - b = \frac{3\pi}{2}$となります。

$\theta = \frac{\pi}{2}$で0になるので, $a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$となります。

$a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$から$a(\frac{\pi}{3}) - b = \frac{3\pi}{2}$を引くと、$\frac{\pi}{6}a = \frac{\pi}{2}$となり、$a=3$が得られます。

$a=3$を$a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$に代入すると, $3(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$となり, $b = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$が得られます。ただし、$0<b<2\pi$を満たさないので、$\theta = \frac{\pi}{2}$で0になるのは $a(\frac{\pi}{2}) - b = 0 + 2n\pi$の時も考えられます。この時、$a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi*1 = 2\pi$または$a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi*2 = 4\pi$も考えられます。$a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$は既に計算しました。

$\theta = \frac{\pi}{2}$で0になるのは $a(\frac{\pi}{2}) - b = 0 + 2n\pi$なので、$n=1$の時 $a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$なので$a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$。

$\theta = \frac{\pi}{3}$で最小値をとるので, $a(\frac{\pi}{3}) - b = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数) 。この時$n=-1$と考えて、$a(\frac{\pi}{3}) - b = \frac{3\pi}{2} -2\pi = -\frac{\pi}{2}$とすると, $a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$から$a(\frac{\pi}{3}) - b = -\frac{\pi}{2}$を引くと、$\frac{\pi}{6}a = \frac{5\pi}{2}$となり、$a=15$が得られます。

$a=15$を$a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$に代入すると, $15(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$となり, $b = \frac{15\pi}{2} - 2\pi = \frac{11\pi}{2}$が得られます。ただし、$0<b<2\pi$を満たさない。

$\theta = \frac{\pi}{3}$で最小値をとるので, $a(\frac{\pi}{3}) - b = \frac{3\pi}{2}$とすると、$a(\frac{\pi}{2}) - b = 0$。$a(\frac{\pi}{2}) - b = 0$から$a(\frac{\pi}{3}) - b = \frac{3\pi}{2}$を引くと、$\frac{\pi}{6}a = -\frac{3\pi}{2}$となり、$a=-9$。これは$a>0$に反する。

グラフから周期を読み取ると、$\frac{3}{2}\pi$程度であると推定できる。つまり, $\frac{2\pi}{a} \approx \frac{3}{2}\pi$なので $a \approx \frac{4}{3}$。

$a(\frac{\pi}{2}) - b = 2\pi$とすると, $\frac{4}{3} * \frac{\pi}{2} -b = 2\pi$。$\frac{2\pi}{3} -b = 2\pi$。$b= -\frac{4\pi}{3}$。これは、$0<b<2\pi$を満たさない。

グラフから、半周期の長さは$\pi/2 - \pi/3 = \pi/6$の約3倍に見えるので周期は$\pi$程度と推測できる。周期=$\frac{2\pi}{a}$だから$a=2$程度。$a\pi/3 - b = 3\pi/2$, $a\pi/2 - b = 2\pi$を$a,b$について解く。$a=3$は既に計算済みなので$b = a\pi/2 - 2\pi = 3\pi/2 - 2\pi = -\pi/2$。

最小値を取るのは$\pi/2$ずれているので$a\pi/3 - b = -\pi/2$なので, $a\pi/3 - b = -\pi/2 + 2n\pi$。0になるのは$a\pi/2 - b = 0+2m\pi$。$m=0$とすると$b=a\pi/2$。$a\pi/3 - a\pi/2 = -\pi/2$。$-a\pi/6 = -\pi/2$だから$a=3$。$b=a\pi/2$なので、$b=3\pi/2$。

周期は$\frac{2\pi}{a} = \frac{2\pi}{3}$である。

$A = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi$

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = \frac{3\pi}{2}$, $A = \pi$, 周期 = $\frac{2\pi}{3}$