$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の3つの三角関数の方程式を解く。 (1) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos \theta = \frac{1}{2}$ (3) $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の3つの三角関数の方程式を解く。

(1) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{2}$

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ の場合

$\sin \theta$ が負の値なので、$\theta$ は第3象限または第4象限にある。

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることを利用する。

第3象限の角は $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

第4象限の角は $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

したがって、$\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{2}$ の場合

$\cos \theta$ が正の値なので、$\theta$ は第1象限または第4象限にある。

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ であることを利用する。

第1象限の角は $\frac{\pi}{3}$

第4象限の角は $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ の場合

$\tan \theta$ が負の値なので、$\theta$ は第2象限または第4象限にある。

$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であることを利用する。

第2象限の角は $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

第4象限の角は $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

したがって、$\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(3) $\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$