2点 $A(4, -2)$、 $B(2, 5)$ がある。点 $P$ が円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動くとき、三角形 $ABP$ の重心 $G$ の軌跡を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(4, -2)$、 $B(2, 5)$ がある。点 $P$ が円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動くとき、三角形 $ABP$ の重心 $G$ の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ の座標を $(s, t)$ とする。点 $P$ は円 $x^2 + y^2 = 9$ 上にあるので、

$s^2 + t^2 = 9$

三角形 $ABP$ の重心 $G$ の座標を $(x, y)$ とすると、重心の定義より、

$x = \frac{4 + 2 + s}{3}$

$y = \frac{-2 + 5 + t}{3}$

これらの式を $s$ と $t$ について解くと、

$s = 3x - 6$

$t = 3y - 3$

これを $s^2 + t^2 = 9$ に代入すると、

$(3x - 6)^2 + (3y - 3)^2 = 9$

$9(x - 2)^2 + 9(y - 1)^2 = 9$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$

したがって、重心 $G$ の軌跡は中心 $(2, 1)$、半径 1 の円である。

3. 最終的な答え

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$