三角形ABCにおいて、∠A = 67°, ∠C = 75°である。点Oは三角形ABCの内心であり、BOとACの交点を点Y、∠OBY = xとおくとき、xとyの角度を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、∠A = 67°, ∠C = 75°である。点Oは三角形ABCの内心であり、BOとACの交点を点Y、∠OBY = xとおくとき、xとyの角度を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180°であるため、∠Bを求める。

$∠B = 180° - ∠A - ∠C$

$∠B = 180° - 67° - 75° = 38°$

点Oは三角形ABCの内心であるため、BOは∠Bの二等分線である。したがって、∠OBC = xは、∠Bの半分である。

$x = ∠OBC = \frac{∠B}{2}$

$x = \frac{38°}{2} = 19°$

三角形ABOにおいて、内角の和は180°であるため、∠AOBを求める。

$∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA$

点Oは内心であるため、AOは∠Aの二等分線である。したがって、∠OAB = ∠A / 2 = 67° / 2 = 33.5°

$∠OBA = ∠OBY = x = 19°$

$∠AOB = 180° - 33.5° - 19° = 127.5°$

∠AOBと∠YOBは一直線をなすため、

$∠YOB + ∠AOB = 180°$

$∠YOB = 180° - ∠AOB = 180° - 127.5° = 52.5°$

三角形OBYにおいて、内角の和は180°であるため、yを求める。

$y = ∠BYO = 180° - ∠OBY - ∠YOB$

$y = 180° - x - ∠YOB = 180° - 19° - 52.5° = 108.5°$

3. 最終的な答え

x = 19°

y = 108.5°