命題 $x^2 + y^2 \le 1 \implies (x-1)^2 + y^2 \le 4$ が成り立つことを、領域を図示して証明せよ。

1. 問題の内容

命題 $x^2 + y^2 \le 1 \implies (x-1)^2 + y^2 \le 4$ が成り立つことを、領域を図示して証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 \le 1$ で表される領域を考える。これは、中心が原点 $(0,0)$ 、半径が 1 の円の内部および周上である。

次に、$(x-1)^2 + y^2 \le 4$ で表される領域を考える。これは、中心が $(1,0)$ 、半径が 2 の円の内部および周上である。

この命題が真であることを示すには、$x^2 + y^2 \le 1$ を満たす全ての点 $(x,y)$ が、$(x-1)^2 + y^2 \le 4$ も満たすことを示せば良い。これは、領域 $x^2 + y^2 \le 1$ が領域 $(x-1)^2 + y^2 \le 4$ に含まれることを意味する。

$x^2 + y^2 \le 1$ を満たす任意の点 $(x, y)$ を考える。このとき、$x^2 + y^2 \le 1$ が成り立つ。

次に、$(x-1)^2 + y^2$ を計算する。

$(x-1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 = (x^2 + y^2) - 2x + 1$

$x^2 + y^2 \le 1$ なので、$x^2 + y^2$ の最大値は 1 である。また、$x^2 + y^2 \le 1$ より、$-1 \le x \le 1$ が成り立つ。したがって、$-2x$ の最大値は 2 である。

$(x-1)^2 + y^2 = (x^2 + y^2) - 2x + 1 \le 1 - 2x + 1 = 2 - 2x$

ここで、$x \ge -1$ であるから、$-2x \le 2$ となる。よって、

$(x-1)^2 + y^2 \le 2 - 2x \le 2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$

したがって、$(x-1)^2 + y^2 \le 4$ が成り立つ。

領域の図示:

* $x^2 + y^2 \le 1$ は、原点を中心とする半径1の円の内部（境界を含む）。

* $(x-1)^2 + y^2 \le 4$ は、点(1,0)を中心とする半径2の円の内部（境界を含む）。

領域 $x^2+y^2 \le 1$ は領域 $(x-1)^2 + y^2 \le 4$ に完全に含まれる。

3. 最終的な答え

領域を図示することで、$x^2 + y^2 \le 1 \implies (x-1)^2 + y^2 \le 4$ が成り立つことを証明できた。