問題文は「$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ のとき、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ であるのはなぜですか？」という問いです。

1. 問題の内容

問題文は「$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ のとき、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ であるのはなぜですか？」という問いです。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$ が存在し、$\lim_{x \to a} g(x) = 0$ であるという条件から、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ となることを証明します。

まず、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$ であることから、$x$ が $a$ に近づくとき、$\frac{f(x)}{g(x)}$ は $\alpha$ に限りなく近づきます。

次に、$\lim_{x \to a} g(x) = 0$ であることから、$x$ が $a$ に近づくとき、$g(x)$ は $0$ に限りなく近づきます。

ここで、$f(x)$ を以下のように書き換えます。

$f(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x)$

この式の両辺の $x \to a$ の極限を考えると、極限の積の性質から以下のようになります。

$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x) \right) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim_{x \to a} g(x)$

問題の条件から、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$ であり、$\lim_{x \to a} g(x) = 0$ であるので、

$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha \cdot 0 = 0$

したがって、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ となる理由は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$ であり、$\lim_{x \to a} g(x) = 0$ であるとき、$f(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x)$ と変形し、極限の積の性質を用いることで、$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha \cdot 0 = 0$ となるからです。