直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形がある。この三角形の斜辺の長さの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形がある。この三角形の斜辺の長さの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

直角を挟む2辺の長さをそれぞれ $x$ , $y$ とすると、$x + y = 12$ が成り立つ。

斜辺の長さを $z$ とすると、三平方の定理より $z^2 = x^2 + y^2$ が成り立つ。

$x + y = 12$ より、$y = 12 - x$。

これを $z^2 = x^2 + y^2$ に代入すると、

$z^2 = x^2 + (12 - x)^2 = x^2 + 144 - 24x + x^2 = 2x^2 - 24x + 144$

$z^2$ が最小となるのは、$z$ が最小となるときである。

$f(x) = 2x^2 - 24x + 144$ とおくと、$f(x)$ は下に凸の二次関数である。

$f(x)$ を平方完成すると、

$f(x) = 2(x^2 - 12x) + 144 = 2(x^2 - 12x + 36 - 36) + 144 = 2(x - 6)^2 - 72 + 144 = 2(x - 6)^2 + 72$

$f(x)$ は $x = 6$ のとき最小値72をとる。

このとき、$z^2 = 72$ より、$z = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

$x = 6$ のとき、$y = 12 - x = 12 - 6 = 6$ なので、$x>0$、$y>0$を満たす。

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}$