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三角形ABCがあり、それぞれの頂点の位置ベクトルが$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で与えられています。辺BC, CA, ABをそれぞれ2:1に内分する点をP, Q, Rとします。三角形ABCの重心をG、三角形PQRの重心をG'とします。 (1) G'の位置ベクトル$\vec{g'}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表してください。 (2) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$が成り立つことを示してください。

幾何学ベクトル重心内分点
2025/7/6

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、それぞれの頂点の位置ベクトルがa⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}で与えられています。辺BC, CA, ABをそれぞれ2:1に内分する点をP, Q, Rとします。三角形ABCの重心をG、三角形PQRの重心をG'とします。
(1) G'の位置ベクトルg′⃗\vec{g'}をa⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}を用いて表してください。
(2) GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}が成り立つことを示してください。

2. 解き方の手順

(1) まず、点P, Q, Rの位置ベクトルp⃗,q⃗,r⃗\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}を求めます。
Pは辺BCを2:1に内分するので、
p⃗=1⋅b⃗+2⋅c⃗2+1=b⃗+2c⃗3\vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{b} + 2 \cdot \vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}
Qは辺CAを2:1に内分するので、
q⃗=1⋅c⃗+2⋅a⃗2+1=c⃗+2a⃗3\vec{q} = \frac{1 \cdot \vec{c} + 2 \cdot \vec{a}}{2+1} = \frac{\vec{c} + 2\vec{a}}{3}
Rは辺ABを2:1に内分するので、
r⃗=1⋅a⃗+2⋅b⃗2+1=a⃗+2b⃗3\vec{r} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}
次に、三角形PQRの重心G'の位置ベクトルg′⃗\vec{g'}を求めます。
g′⃗=p⃗+q⃗+r⃗3=b⃗+2c⃗3+c⃗+2a⃗3+a⃗+2b⃗33=b⃗+2c⃗+c⃗+2a⃗+a⃗+2b⃗9=3a⃗+3b⃗+3c⃗9=a⃗+b⃗+c⃗3\vec{g'} = \frac{\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{3} = \frac{\frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} + \frac{\vec{c} + 2\vec{a}}{3} + \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}}{3} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c} + \vec{c} + 2\vec{a} + \vec{a} + 2\vec{b}}{9} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{b} + 3\vec{c}}{9} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}
(2) 三角形ABCの重心Gの位置ベクトルg⃗\vec{g}は
g⃗=a⃗+b⃗+c⃗3\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}
GA⃗=a⃗−g⃗=a⃗−a⃗+b⃗+c⃗3=2a⃗−b⃗−c⃗3\vec{GA} = \vec{a} - \vec{g} = \vec{a} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}}{3}
GB⃗=b⃗−g⃗=b⃗−a⃗+b⃗+c⃗3=2b⃗−a⃗−c⃗3\vec{GB} = \vec{b} - \vec{g} = \vec{b} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2\vec{b} - \vec{a} - \vec{c}}{3}
GC⃗=c⃗−g⃗=c⃗−a⃗+b⃗+c⃗3=2c⃗−a⃗−b⃗3\vec{GC} = \vec{c} - \vec{g} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{3}
GA⃗+GB⃗+GC⃗=2a⃗−b⃗−c⃗3+2b⃗−a⃗−c⃗3+2c⃗−a⃗−b⃗3=(2a⃗−a⃗−a⃗)+(2b⃗−b⃗−b⃗)+(2c⃗−c⃗−c⃗)3=0⃗3=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \frac{2\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}}{3} + \frac{2\vec{b} - \vec{a} - \vec{c}}{3} + \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{3} = \frac{(2\vec{a} - \vec{a} - \vec{a}) + (2\vec{b} - \vec{b} - \vec{b}) + (2\vec{c} - \vec{c} - \vec{c})}{3} = \frac{\vec{0}}{3} = \vec{0}

3. 最終的な答え

(1) g′⃗=a⃗+b⃗+c⃗3\vec{g'} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}
(2) GA⃗+GB⃗+GC⃗=0⃗\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}

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