右の図のような道のある地域で、以下の問いに答えます。 (1) AからBまで最短の道順は何通りあるか。 (2) AからCを通ってBまで最短の道順は何通りあるか。 (3) AからCを通らずにBまで最短の道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

右の図のような道のある地域で、以下の問いに答えます。

(1) AからBまで最短の道順は何通りあるか。

(2) AからCを通ってBまで最短の道順は何通りあるか。

(3) AからCを通らずにBまで最短の道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで最短で行くには、右に5回、上に3回進む必要があります。したがって、全部で8回の移動のうち、右に進む5回を選ぶ組み合わせを考えればよいので、

$\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り

(2) AからCまで最短で行くには、右に2回、上に1回進む必要があります。その道順は

$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り

CからBまで最短で行くには、右に3回、上に2回進む必要があります。その道順は

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

したがって、AからCを通ってBまで行く最短の道順は $3 \times 10 = 30$ 通り。

(3) AからBまでの最短の道順から、AからCを通ってBまで行く最短の道順を除けばよいので、

$56 - 30 = 26$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 56通り

(2) 30通り

(3) 26通り