全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 4, 8\}$、 $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられています。 次の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A \cup B}$ (5) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (6) $\overline{A} \cap B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 4, 8\}$、 $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられています。

次の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

(5) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(6) $\overline{A} \cap B$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は、$U$ に含まれていて $A$ に含まれていない要素の集合です。

$\overline{A} = U - A = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(2) $\overline{B}$ は、$U$ に含まれていて $B$ に含まれていない要素の集合です。

$\overline{B} = U - B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\} \cap \{2, 4, 6, 8, 10\} = \{6, 10\}$

(4) $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ の補集合です。まず、$A \cup B$ を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{6, 10\}$

(5) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合です。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\} \cup \{2, 4, 6, 8, 10\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(6) $\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。

$\overline{A} \cap B = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{3, 5, 7, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(2) $\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

(3) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{6, 10\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{6, 10\}$

(5) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(6) $\overline{A} \cap B = \{3, 5, 7, 9\}$