関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ について、 - $x=1$ で極大値をとるときの極大値を求める。 - $y=f(x)$ のグラフの変曲点を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ について、

- $x=1$ で極大値をとるときの極大値を求める。

- $y=f(x)$ のグラフの変曲点を求める。

2. 解き方の手順

(1) 極大値を求める。

$f(x) = (1+x^2)^{-1/2}$

$f'(x) = -\frac{1}{2}(1+x^2)^{-3/2}(2x) = -x(1+x^2)^{-3/2} = \frac{-x}{(1+x^2)^{3/2}}$

$x=1$ のとき、

$f(1) = \frac{1}{\sqrt{1+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) 変曲点を求める。

$f'(x) = -x(1+x^2)^{-3/2}$

$f''(x) = -(1+x^2)^{-3/2} -x(-\frac{3}{2})(1+x^2)^{-5/2}(2x) = -(1+x^2)^{-3/2} + 3x^2(1+x^2)^{-5/2}$

$f''(x) = \frac{-1}{(1+x^2)^{3/2}} + \frac{3x^2}{(1+x^2)^{5/2}} = \frac{-(1+x^2)+3x^2}{(1+x^2)^{5/2}} = \frac{2x^2-1}{(1+x^2)^{5/2}}$

変曲点では、$f''(x) = 0$ となるので、$2x^2-1 = 0$ より $x^2 = \frac{1}{2}$

したがって、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

このとき、$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

よって、変曲点は $(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3})$

画像の穴埋め箇所を埋める。

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ は、$x=0$ で極大値 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をとる。

また、$y=f(x)$ のグラフの変曲点は $(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ である。

3. 最終的な答え

極大値：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

変曲点：$(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3})$

画像を元に解答すると

極大値：$f(0) = 1$

$f'(x) = -x(1+x^2)^{-3/2}$

$f'(x) = 0$ より $x = 0$

また、$x = 1$ が誤りである

$f(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

変曲点：$(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3})$

1：0

2：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ではなく 1

3：2

4：2

5：6

最終的な答え

0

1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{6}}{3}$