長さ80cmの紐を2本に切り分け、それぞれの紐で正方形を作ります。 (1) 一方の紐の長さを $4x$ cmとするとき、もう一方の紐の長さを $x$ を用いて表します。 (2) 2つの正方形の面積の合計を $y$ とし、$x$ の関数として表します（$y=f(x)$ の2次関数）。 (3) (2) で求めた関数のグラフを描き、2つの正方形の面積の和が最小で何 $cm^2$ になるか求めます。

1. 問題の内容

長さ80cmの紐を2本に切り分け、それぞれの紐で正方形を作ります。

(1) 一方の紐の長さを $4x$ cmとするとき、もう一方の紐の長さを $x$ を用いて表します。

(2) 2つの正方形の面積の合計を $y$ とし、$x$ の関数として表します（$y=f(x)$ の2次関数）。

(3) (2) で求めた関数のグラフを描き、2つの正方形の面積の和が最小で何 $cm^2$ になるか求めます。

2. 解き方の手順

(1) もう一方の紐の長さは、全体の長さから一方の紐の長さを引いたものです。

もう一方の紐の長さ = 80 - 4x (cm)

(2) 一方の正方形の一辺の長さは $4x/4 = x$ cmなので、その面積は $x^2$ $cm^2$。

もう一方の正方形の一辺の長さは $(80-4x)/4 = 20-x$ cmなので、その面積は $(20-x)^2$ $cm^2$。

したがって、2つの正方形の面積の合計 $y$ は、

$y = x^2 + (20-x)^2$

$y = x^2 + 400 - 40x + x^2$

$y = 2x^2 - 40x + 400$

(3) $y = 2x^2 - 40x + 400$ のグラフを描きます。これは下に凸の放物線です。

最小値を求めるために平方完成します。

$y = 2(x^2 - 20x) + 400$

$y = 2(x^2 - 20x + 100 - 100) + 400$

$y = 2((x-10)^2 - 100) + 400$

$y = 2(x-10)^2 - 200 + 400$

$y = 2(x-10)^2 + 200$

したがって、$x=10$ のとき、最小値 $y=200$ をとります。

また $0 \le x \le 20$ という条件が課せられます。

3. 最終的な答え

(1) $80 - 4x$ cm

(2) $y = 2x^2 - 40x + 400$

(3) グラフは下に凸の放物線で、頂点は $(10, 200)$ です。面積の和の最小値は $200$ $cm^2$。