問題12-1： 2点 $P, Q \in \mathbb{R}^2$ と $r_1 > 0$, $r_2 > 0$ に対して、もし $||PQ|| > r_1 + r_2$ ならば $U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ となることを示せ。ここで$U_r(P)$は点$P$を中心とする半径$r$の開円板を表す。 問題12-2： $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数で、ある $M_1 > 0$, $M_2 > 0$ があって、$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right| \le M_1$, $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right| \le M_2$ ((x,y) $\in \mathbb{R}^2$) ならば不等式 $|f(x+h, y+k) - f(x,y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ ((x,y) $\in \mathbb{R}^2$, h, k $\in \mathbb{R}$) が成立することを示せ。 問題12-3： $xyz$ 空間において不等式 $0 \le z \le 1 - x^2 - y^2$ で表わされる図形の概形を描け。

1. 問題の内容

問題12-1：

2点 $P, Q \in \mathbb{R}^2$ と $r_1 > 0$, $r_2 > 0$ に対して、もし $||PQ|| > r_1 + r_2$ ならば $U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ となることを示せ。ここで$U_r(P)$は点$P$を中心とする半径$r$の開円板を表す。

問題12-2：

$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ が $C^1$ 級関数で、ある $M_1 > 0$, $M_2 > 0$ があって、$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\right| \le M_1$, $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right| \le M_2$ ((x,y) $\in \mathbb{R}^2$) ならば不等式 $|f(x+h, y+k) - f(x,y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ ((x,y) $\in \mathbb{R}^2$, h, k $\in \mathbb{R}$) が成立することを示せ。

問題12-3：

$xyz$ 空間において不等式 $0 \le z \le 1 - x^2 - y^2$ で表わされる図形の概形を描け。

2. 解き方の手順

問題12-1：

$U_{r_1}(P)$ と $U_{r_2}(Q)$ が空集合でないと仮定すると、ある点 $X$ が存在して $X \in U_{r_1}(P)$ かつ $X \in U_{r_2}(Q)$ となる。

これは、$\|XP\| < r_1$ かつ $\|XQ\| < r_2$ を意味する。

三角不等式より、$\|PQ\| \le \|PX\| + \|XQ\| = \|XP\| + \|XQ\| < r_1 + r_2$ となる。

これは問題の仮定 $\|PQ\| > r_1 + r_2$ に矛盾する。

したがって、$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$。

問題12-2：

平均値の定理を適用することを考えます。まず、$g(t) = f(x+th, y+tk)$ と定義します。

$g(1) - g(0) = g'(c)$ を満たす $c \in (0, 1)$ が存在します。

$g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(x+th, y+tk)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x+th, y+tk)k$

したがって、

$f(x+h, y+k) - f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x+ch, y+ck)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x+ch, y+ck)k$

$|f(x+h, y+k) - f(x,y)| = \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x+ch, y+ck)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x+ch, y+ck)k\right|$

$\le \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x+ch, y+ck)\right||h| + \left|\frac{\partial f}{\partial y}(x+ch, y+ck)\right||k|$

$\le M_1 |h| + M_2 |k|$

Cauchy-Schwarzの不等式を用いると、

$M_1 |h| + M_2 |k| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2}\sqrt{h^2 + k^2}$

よって$|f(x+h, y+k) - f(x,y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$ が成立する。

問題12-3：

$0 \le z \le 1 - x^2 - y^2$ は、$xy$ 平面上に $x^2 + y^2 \le 1$ という円があり、その円板状の領域上の各点に対して、高さが $0$ から $1 - x^2 - y^2$ までの範囲にある領域を表す。

$z = 1 - x^2 - y^2$ は放物面である。

$z = 0$ は $xy$ 平面である。

したがって、与えられた不等式は、$xy$ 平面上の単位円を底面とし、上部が放物面で囲まれた立体である。

3. 最終的な答え

問題12-1：

$U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$

問題12-2：

$|f(x+h, y+k) - f(x,y)| \le \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \sqrt{h^2 + k^2}$

問題12-3：

$xy$ 平面上の単位円を底面とし、上部が放物面 $z = 1 - x^2 - y^2$ で囲まれた立体。