与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -4 & -4 & -1 \\ 2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。 (2) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在すれば求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -4 & -4 & -1 \\ 2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。

(2) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在すれば求める。

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ の各成分 $\tilde{a}_{ij}$ は、$A$ の $(i, j)$ 余因子 $A_{ij}$ を用いて $\tilde{a}_{ij} = A_{ji}$ で定義される。ここで、$A_{ij}$ は $A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものである。

問題文より2行目は求めてあるとのことなので、1行目と3行目を求める。

$A_{11} = \begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = (-4)(-3) - (-1)(3) = 12 + 3 = 15$

$A_{12} = -\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -((-4)(-3) - (-1)(2)) = -(12 + 2) = -14$

$A_{13} = \begin{vmatrix} -4 & -4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (-4)(3) - (-4)(2) = -12 + 8 = -4$

$A_{31} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = (3)(-1) - (1)(-4) = -3 + 4 = 1$

$A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = -(2(-1) - 1(-4)) = -(-2 + 4) = -2$

$A_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} = (2)(-4) - (3)(-4) = -8 + 12 = 4$

問題文には２行目は求めてあると書いてあるので省略して、余因子行列 $\tilde{A}$ は、

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} 15 & ? & 1 \\ -14 & ? & -2 \\ -4 & ? & 4 \end{bmatrix}$

となる。問題文の指示に従い、２行目の計算を省略する。

(2) 逆行列 $A^{-1}$ が存在するための必要十分条件は、$\det(A) \neq 0$ である。$\det(A)$ を計算する。

$\det(A) = 2\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} -4 & -4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 2(15) - 3(14) + 1(-4) = 30 - 42 - 4 = -16$

$\det(A) = -16 \neq 0$ なので、$A^{-1}$ は存在する。

逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \tilde{A}$ で与えられる。

問題文の指示より２行目は既にわかっているという想定で計算を進める。

まずは、問題文中に書かれているAの余因子行列の2行目を計算する。

$A_{21} = - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = -(3 \times (-3) - 1 \times 3) = -(-9 -3) = 12$

$A_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = 2 \times (-3) - 1 \times 2 = -6 -2 = -8$

$A_{23} = - \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(2 \times 3 - 3 \times 2) = -(6-6) = 0$

したがって余因子行列は

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 1 \\ -14 & -8 & -2 \\ -4 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{-16} \begin{bmatrix} 15 & 12 & 1 \\ -14 & -8 & -2 \\ -4 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -15/16 & -3/4 & -1/16 \\ 7/8 & 1/2 & 1/8 \\ 1/4 & 0 & -1/4 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 余因子行列 $\tilde{A} = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 1 \\ -14 & -8 & -2 \\ -4 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

(2) 逆行列 $A^{-1} = \begin{bmatrix} -15/16 & -3/4 & -1/16 \\ 7/8 & 1/2 & 1/8 \\ 1/4 & 0 & -1/4 \end{bmatrix}$