与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & -2 \\ 2 & -7 & 3 & 3 \\ -3 & 7 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

3 & 5 & 1 & -2 \\

2 & -7 & 3 & 3 \\

-3 & 7 & 4 & 3 \\

1 & 3 & 9 & 5

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの行または列を操作して、できるだけ多くのゼロを作ることを目指します。今回は、まず1行目を基準にして、他の行から1行目の定数倍を引いていきます。

- 2行目から1行目の $\frac{2}{3}$ 倍を引きます。

- 3行目に1行目を足します。

- 4行目から1行目の $\frac{1}{3}$ 倍を引きます。

これにより、新しい行列は以下のようになります。

$\begin{vmatrix}

3 & 5 & 1 & -2 \\

0 & -\frac{31}{3} & \frac{7}{3} & \frac{13}{3} \\

0 & 12 & 5 & 1 \\

0 & \frac{4}{3} & \frac{26}{3} & \frac{17}{3}

\end{vmatrix}$

次に、この行列の行列式は、1列目の要素とその余因子との積で表されます。この場合、1列目の最初の要素のみがゼロでないため、以下のようになります。

$3 \cdot \begin{vmatrix}

-\frac{31}{3} & \frac{7}{3} & \frac{13}{3} \\

12 & 5 & 1 \\

\frac{4}{3} & \frac{26}{3} & \frac{17}{3}

\end{vmatrix}$

この3x3行列の行列式を計算します。

$3 \cdot \left( -\frac{31}{3} \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ \frac{26}{3} & \frac{17}{3} \end{vmatrix} - \frac{7}{3} \begin{vmatrix} 12 & 1 \\ \frac{4}{3} & \frac{17}{3} \end{vmatrix} + \frac{13}{3} \begin{vmatrix} 12 & 5 \\ \frac{4}{3} & \frac{26}{3} \end{vmatrix} \right)$

$3 \cdot \left( -\frac{31}{3} ( \frac{85}{3} - \frac{26}{3} ) - \frac{7}{3} ( \frac{204}{3} - \frac{4}{3} ) + \frac{13}{3} ( \frac{312}{3} - \frac{20}{3} ) \right)$

$\cdot \left( -\frac{31}{3} ( \frac{59}{3} ) - \frac{7}{3} ( \frac{200}{3} ) + \frac{13}{3} ( \frac{292}{3} ) \right)$

$3 \cdot \left( -\frac{1829}{9} - \frac{1400}{9} + \frac{3796}{9} \right)$

$3 \cdot \left( \frac{567}{9} \right)$

$3 \cdot 63$

$189$

3. 最終的な答え

189